9.

椭圆 $E$ 的方程为

$E$ 的焦点为 $F_1$ 和 $F_2$

(a) (i) 求 $F_1$ 和 $F_2$ 的坐标

(ii) 写出 $E$ 的每条准线方程

点 $P$ 在椭圆上。

(b) 证明 $|PF_1|+|PF_2|=6$

过点 $P$ 的直线方程为 $y=2x+c$，且它再次与 $E$ 相交于点 $Q$

点 $M$ 是 $PQ$ 的中点

(c) 证明当 $P$ 变化时，$M$ 的轨迹是一条过原点的直线。

先把椭圆写成标准形式，读出半长轴 $a=3$ 与半短轴 $b=1$。使用 $c^2=a^2-b^2$ 求焦距，再写出两个焦点坐标。

The ellipse can be written as

so $a=3$ and $b=1$. Hence

Therefore, taking the positive focus as $F_1$,

先由 $e=\frac ca$ 求离心率，再使用横轴椭圆的准线公式 $x=\pm\frac ae$，最后把分母有理化。

The eccentricity is

Thus the directrices are

每个焦点都对应同侧的一条准线，且焦点距离等于离心率乘以到对应准线的垂直距离。令 $P=(x,y)$，把两段距离相加时，含 $x$ 的部分会抵消，留下常数 $2a=6$。

Let

The focus $F_1=(2\sqrt2,0)$ corresponds to the directrix $x=d$, while $F_2=(-2\sqrt2,0)$ corresponds to $x=-d$.

For $P=(x,y)$ on the ellipse, $-3\le x\le3$ and $d>3$. Therefore, the perpendicular distances from $P$ to these directrices are

By the focus-directrix definition of an ellipse,

Hence

as required.

把椭圆上的一般点写成 $P=(3\cos\theta,\sin\theta)$。分别用距离公式计算到两个焦点的距离；利用 $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ 后，两个根式都成为完全平方，并且因 $3>2\sqrt2$ 可确定开方后的正负号。

Let

Then

Since $3-2\sqrt2\cos\theta>0$,

Similarly,

Since $3+2\sqrt2\cos\theta\ge3-2\sqrt2>0$,

Therefore,

把直线方程代入椭圆，得到交点 $P,Q$ 的横坐标所满足的二次方程。利用根与系数关系求两根之和，从而求中点横坐标；中点仍在线 $y=2x+c$ 上，据此消去参数 $c$，得到过原点的直线方程。

Substituting $y=2x+c$ into the ellipse gives

Let the $x$-coordinates of $P$ and $Q$ be $x_1$ and $x_2$. By the sum of roots,

If the midpoint is $M=(X,Y)$, then

Thus

Since the midpoint of two points on a straight line also lies on that line,

Relabelling the midpoint coordinates as $(x,y)$, the locus is

This is a straight line passing through the origin, as required.