题目

Problem

Solve the equation

7\cosh x+3\sinh x=2e^x+7

Give your answers as simplified natural logarithms.

(5)

题目中文翻译

求解方程

7\cosh x+3\sinh x=2e^x+7

把答案写成化简后的自然对数形式。

解答

展开

把 $\cosh x$ 与 $\sinh x$ 全部改写成指数形式。整理后乘以始终为正的 $e^x$ ，便得到关于 $e^x$ 的二次方程；求出两个正根后再取自然对数。

展开

Using

\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.

Also,

\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}.

the equation becomes

\begin{align*} &\,7\biggl(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\biggr) \\ +&\,3\biggl(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\biggr) \\ =&\,2e^x+7, \\ 5e^x+2e^{-x}=&\,2e^x+7. \end{align*}

Since $e^x>0$ , multiply throughout by $e^x$ :

\begin{align*} 5e^{2x}+2=&\,2e^{2x}+7e^x, \\ 3e^{2x}-7e^x+2=&\,0, \\ (3e^x-1)(e^x-2)=&\,0. \end{align*}

Therefore,

e^x=\frac13 \qquad\text{or}\qquad e^x=2.

Taking natural logarithms gives

\boxed{x=-\ln3\quad\text{or}\quad x=\ln2}.