6.

椭圆 $E$ 的方程为

点 $P(4\cos\theta,3\sin\theta)$ 在 $E$ 上。

(a) 用微积分证明 $E$ 在点 $P$ 处的切线方程为

(b) 求 $E$ 在点 $P$ 处的法线方程。

$E$ 在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴交于点 $A$。

$E$ 在点 $P$ 处的法线与 $y$ 轴交于点 $B$。

(c) 证明当 $\theta$ 变化时，$A$ 与 $B$ 的中点的轨迹方程为

其中 $p$、$q$ 和 $r$ 为待定整数。

把 $x$ 和 $y$ 都看成 $\theta$ 的函数，分别对 $\theta$ 求导，再用 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}\theta}$ 求切线斜率。代入点斜式后，利用 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 自然推出指定方程。

Since

we have

Therefore,

Using the point-slope form of the tangent at $P$,

Multiplying by $4\sin\theta$ and rearranging,

Hence the tangent has equation

When $\sin\theta=0$, the tangent is vertical, and the boxed equation still gives the correct tangent $x=4\cos\theta$.

直接对椭圆方程关于 $x$ 求导，再把点 $P$ 的坐标代入导数，得到用 $\theta$ 表示的切线斜率。随后代入点斜式并化简到题目指定形式。

Differentiating the equation of the ellipse implicitly,

Thus

At $P(4\cos\theta,3\sin\theta)$,

Therefore,

Multiplying by $4\sin\theta$,

Hence

The same equation also covers the vertical-tangent cases where $\sin\theta=0$.

法线斜率是切线斜率的负倒数。用点斜式写出经过 $P$ 的法线，再整理成不含分母的形式；所得方程也能涵盖水平或竖直法线的特殊位置。

The gradient of the normal is

Hence

Multiplying by $3\cos\theta$,

Thus

分别令切线中的 $y=0$、法线中的 $x=0$，求出截点 $A$、$B$，继而写出中点坐标。为避免中点坐标与原椭圆坐标混淆，先记中点为 $(X,Y)$；把 $\sin\theta$ 和 $\cos\theta$ 用 $X,Y$ 表示后，代入平方和恒等式消去参数。

For the tangent, setting $y=0$ gives

so

For the normal, setting $x=0$ gives

so

Let the midpoint of $A$ and $B$ be $(X,Y)$. Then

Therefore,

Using $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$,

Relabelling the midpoint coordinates as $(x,y)$, its locus is

Hence

仍先求出中点坐标，但这次把纵坐标改写成含 $\tan\theta$ 与 $X$ 的式子，再利用 $1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$ 消去参数。

From the intercepts found above, the midpoint $(X,Y)$ satisfies

Since $\sin\theta=\tan\theta/\sec\theta$,

Thus

Using $1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$,

Therefore, writing the midpoint coordinates as $(x,y)$,

so