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FP3 2023 June Q7

A Level / Edexcel / FP3

IAL 2023 June Paper · Question 7

题目

Problem

7.

In=∫cosh⁡n(2x) dxn≥0I_n=\int \cosh^n(2x)\,\mathrm{d}x \qquad n\ge 0

(a) Show that, for n≥2n\ge 2

In=cosh⁡n−1(2x)sinh⁡(2x)2n+n−1nIn−2I_n=\frac{\cosh^{n-1}(2x)\sinh(2x)}{2n}+\frac{n-1}{n}I_{n-2}
(5)

(b) Hence determine

∫(1+cosh⁡2x)3 dx\int (1+\cosh 2x)^3\,\mathrm{d}x

collecting any like terms in your answer.

(4)
题目中文翻译

7.

In=∫cosh⁡n(2x) dxn≥0I_n=\int \cosh^n(2x)\,\mathrm{d}x \qquad n\ge 0

(a) 证明，当 n≥2n\ge 2 时，

In=cosh⁡n−1(2x)sinh⁡(2x)2n+n−1nIn−2I_n=\frac{\cosh^{n-1}(2x)\sinh(2x)}{2n}+\frac{n-1}{n}I_{n-2}
(5)

(b) 因此求

∫(1+cosh⁡2x)3 dx\int (1+\cosh 2x)^3\,\mathrm{d}x

并在答案中合并同类项。

(4)

解答

(a)

解法一：拆出一个 cosh⁡(2x)\cosh(2x)

思路

展开

把被积函数写成 cosh⁡n−1(2x)cosh⁡(2x)\cosh^{n-1}(2x)\cosh(2x)，以 cosh⁡n−1(2x)\cosh^{n-1}(2x) 为需要求导的部分进行分部积分。所得积分含有 sinh⁡2(2x)\sinh^2(2x)，再用 sinh⁡2(2x)=cosh⁡2(2x)−1\sinh^2(2x)=\cosh^2(2x)-1 将它化成 In−In−2I_n-I_{n-2}，最后整理出指定递推式。

答题过程

展开

Write

In=∫cosh⁡n−1(2x)cosh⁡(2x) dx.I_n=\int \cosh^{n-1}(2x)\cosh(2x)\,\mathrm{d}x.

Integrate by parts, taking

u=cosh⁡n−1(2x),dv=cosh⁡(2x) dx.u=\cosh^{n-1}(2x), \qquad \mathrm{d}v=\cosh(2x)\,\mathrm{d}x.

Then

du=2(n−1)cosh⁡n−2(2x)sinh⁡(2x) dx,\mathrm{d}u =2(n-1)\cosh^{n-2}(2x) \sinh(2x)\,\mathrm{d}x,

and

v=12sinh⁡(2x).v=\frac12\sinh(2x).

Therefore,

In= 12cosh⁡n−1(2x)sinh⁡(2x) −(n−1)∫sinh⁡2(2x)cosh⁡n−2(2x) dx.\begin{align*} I_n =&\,\frac12\cosh^{n-1}(2x)\sinh(2x) \\ &\,-(n-1)\int \sinh^2(2x)\cosh^{n-2}(2x)\,\mathrm{d}x. \end{align*}

Using sinh⁡2(2x)=cosh⁡2(2x)−1\sinh^2(2x)=\cosh^2(2x)-1,

In= 12cosh⁡n−1(2x)sinh⁡(2x) −(n−1)∫(cosh⁡2(2x)−1) ⋅cosh⁡n−2(2x) dx= 12cosh⁡n−1(2x)sinh⁡(2x) −(n−1)(In−In−2).\begin{align*} I_n =&\,\frac12\cosh^{n-1}(2x)\sinh(2x) \\ &\,-(n-1)\int \bigl(\cosh^2(2x)-1\bigr) \\ &\,\hspace{2pt}\cdot \cosh^{n-2}(2x)\,\mathrm{d}x \\ =&\,\frac12\cosh^{n-1}(2x)\sinh(2x) \\ &\,-(n-1)(I_n-I_{n-2}). \end{align*}

Hence

nIn= 12cosh⁡n−1(2x)sinh⁡(2x) +(n−1)In−2,\begin{align*} nI_n =&\,\frac12\cosh^{n-1}(2x)\sinh(2x) \\ &\,+(n-1)I_{n-2}, \end{align*}

so

In=cosh⁡n−1(2x)sinh⁡(2x)2n+n−1nIn−2.\boxed{ I_n =\frac{\cosh^{n-1}(2x)\sinh(2x)}{2n} +\frac{n-1}{n}I_{n-2} }.

解法二：先使用双曲恒等式

思路

展开

先拆出 cosh⁡2(2x)\cosh^2(2x)，再用 cosh⁡2(2x)=1+sinh⁡2(2x)\cosh^2(2x)=1+\sinh^2(2x)，于是 InI_n 被分成 In−2I_{n-2} 与另一个积分。对后者分部积分，可直接产生一个含 InI_n 的项，整理后同样得到递推式。

答题过程

展开

Using cosh⁡2(2x)=1+sinh⁡2(2x)\cosh^2(2x)=1+\sinh^2(2x),

In= ∫cosh⁡2(2x)cosh⁡n−2(2x) dx= In−2+∫sinh⁡2(2x)cosh⁡n−2(2x) dx.\begin{align*} I_n =&\,\int \cosh^2(2x)\cosh^{n-2}(2x)\,\mathrm{d}x \\ =&\,I_{n-2} +\int\sinh^2(2x) \cosh^{n-2}(2x)\,\mathrm{d}x. \end{align*}

Let

J=∫sinh⁡2(2x)cosh⁡n−2(2x) dx.J=\int\sinh^2(2x) \cosh^{n-2}(2x)\,\mathrm{d}x.

For JJ, integrate by parts with

u=sinh⁡(2x),dv=sinh⁡(2x)cosh⁡n−2(2x) dx.u=\sinh(2x), \qquad \mathrm{d}v =\sinh(2x)\cosh^{n-2}(2x)\,\mathrm{d}x.

Then

du=2cosh⁡(2x) dx,\mathrm{d}u=2\cosh(2x)\,\mathrm{d}x,

and

v=cosh⁡n−1(2x)2(n−1).v=\frac{\cosh^{n-1}(2x)}{2(n-1)}.

Thus

J= sinh⁡(2x)cosh⁡n−1(2x)2(n−1) −1n−1∫cosh⁡n(2x) dx= sinh⁡(2x)cosh⁡n−1(2x)2(n−1)−1n−1In.\begin{align*} J =&\,\frac{\sinh(2x)\cosh^{n-1}(2x)} {2(n-1)} \\ &\,-\frac{1}{n-1} \int\cosh^n(2x)\,\mathrm{d}x \\ =&\,\frac{\sinh(2x)\cosh^{n-1}(2x)} {2(n-1)} -\frac{1}{n-1}I_n. \end{align*}

Substituting this into In=In−2+JI_n=I_{n-2}+J gives

In= In−2+sinh⁡(2x)cosh⁡n−1(2x)2(n−1) −1n−1In.\begin{align*} I_n =&\,I_{n-2} +\frac{\sinh(2x)\cosh^{n-1}(2x)} {2(n-1)} \\ &\,-\frac{1}{n-1}I_n. \end{align*}

Therefore,

nn−1In=In−2+sinh⁡(2x)cosh⁡n−1(2x)2(n−1),\frac{n}{n-1}I_n =I_{n-2} +\frac{\sinh(2x)\cosh^{n-1}(2x)} {2(n-1)},

and hence

In=cosh⁡n−1(2x)sinh⁡(2x)2n+n−1nIn−2.\boxed{ I_n =\frac{\cosh^{n-1}(2x)\sinh(2x)}{2n} +\frac{n-1}{n}I_{n-2} }.

(b)

解法一

思路

展开

先展开三次式，把原积分写成 I0+3I1+3I2+I3I_0+3I_1+3I_2+I_3。然后明确写出 I0I_0、I1I_1，并承接 (a) 的递推式分别求 I2I_2 与 I3I_3，最后合并所有同类项。

答题过程

展开

Expanding the integrand,

(1+cosh⁡2x)3=1+3cosh⁡2x+3cosh⁡22x+cosh⁡32x.(1+\cosh 2x)^3 =1+3\cosh 2x +3\cosh^2 2x+\cosh^3 2x.

Hence

∫(1+cosh⁡2x)3 dx=I0+3I1+3I2+I3.\int(1+\cosh 2x)^3\,\mathrm{d}x =I_0+3I_1+3I_2+I_3.

We have

I0=x,I1=12sinh⁡(2x).I_0=x, \qquad I_1=\frac12\sinh(2x).

Using the reduction formula from part (a),

I2= 14cosh⁡(2x)sinh⁡(2x)+12I0= 14cosh⁡(2x)sinh⁡(2x)+12x,\begin{align*} I_2 =&\,\frac14\cosh(2x)\sinh(2x) +\frac12I_0 \\ =&\,\frac14\cosh(2x)\sinh(2x) +\frac12x, \end{align*}

and

I3= 16cosh⁡2(2x)sinh⁡(2x)+23I1= 16cosh⁡2(2x)sinh⁡(2x)+13sinh⁡(2x).\begin{align*} I_3 =&\,\frac16\cosh^2(2x)\sinh(2x) +\frac23I_1 \\ =&\,\frac16\cosh^2(2x)\sinh(2x) +\frac13\sinh(2x). \end{align*}

Therefore,

∫(1+cosh⁡2x)3 dx= x+32sinh⁡(2x) +34cosh⁡(2x)sinh⁡(2x)+32x +16cosh⁡2(2x)sinh⁡(2x)+13sinh⁡(2x)= 52x+116sinh⁡(2x)+34sinh⁡(2x)cosh⁡(2x) +16sinh⁡(2x)cosh⁡2(2x)+C.\begin{align*} \int(1+\cosh 2x)^3\,\mathrm{d}x =&\,x+\frac32\sinh(2x) \\ &\,+\frac34\cosh(2x)\sinh(2x) +\frac32x \\ &\,+\frac16\cosh^2(2x)\sinh(2x) +\frac13\sinh(2x) \\ =&\,\frac52x+\frac{11}{6}\sinh(2x) +\frac34\sinh(2x)\cosh(2x) \\ &\,\hspace{2pt} +\frac16\sinh(2x)\cosh^2(2x)+C. \end{align*}