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FP3 2024 Jan Q1

A Level / Edexcel / FP3

IAL 2024 Jan Paper · Question 1

题目

Problem

1.

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

(i) Show that

∫443816+x2 dx=pπ\int_4^{4\sqrt3} \frac{8}{16+x^2}\,\mathrm{d}x = p\pi

where pp is a rational number to be determined.

(3)

(ii) Determine the exact value of kk for which

∫3/4k29−4x2 dx=π12\int_{3/4}^{k}\frac{2}{\sqrt{9-4x^2}}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{12}
(4)
题目中文翻译

1.

本题中你必须写出所有解题步骤。

完全依赖计算器技术的解法不予接受。

(i) 证明

∫443816+x2 dx=pπ\int_4^{4\sqrt3} \frac{8}{16+x^2}\,\mathrm{d}x = p\pi

其中 pp 为待定有理数。

(3)

(ii) 求满足下式的 kk 的精确值：

∫3/4k29−4x2 dx=π12\int_{3/4}^{k}\frac{2}{\sqrt{9-4x^2}}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{12}
(4)

解答

(i)

解法一

思路

展开

把分母识别为 42+x24^2+x^2，使用反正切积分公式。代入上下限后，两个反正切值都是特殊角，因此能够得到 π\pi 的有理数倍。

答题过程

展开

Using

∫1a2+x2 dx=1aarctan⁡(xa)+C,\int\frac{1}{a^2+x^2}\,\mathrm{d}x =\frac1a\arctan\biggl(\frac{x}{a}\biggr)+C,

we have

∫443816+x2 dx= 2[arctan⁡(x4)]443= 2(arctan⁡3−arctan⁡1)= 2(π3−π4)= π6.\begin{align*} \int_4^{4\sqrt3}\frac{8}{16+x^2}\,\mathrm{d}x =&\,2\biggl[ \arctan\biggl(\frac{x}{4}\biggr) \biggr]_4^{4\sqrt3} \\ =&\,2\bigl(\arctan\sqrt3-\arctan1\bigr) \\ =&\,2\biggl(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\biggr) \\ =&\,\frac{\pi}{6}. \end{align*}

Therefore,

p=16.\boxed{p=\frac16}.

(ii)

解法一

思路

展开

令 u=2xu=2x，可把积分化成标准的反正弦积分。代入下限时得到 arcsin⁡(1/2)=π/6\arcsin(1/2)=\pi/6，再解关于上限 kk 的方程，并检查所得值位于被积函数允许的范围内。

答题过程

展开

Let u=2xu=2x, so that du=2 dx\mathrm{d}u=2\,\mathrm{d}x. Then

∫29−4x2 dx= ∫19−u2 du= arcsin⁡(u3)+C= arcsin⁡(2x3)+C.\begin{align*} \int\frac{2}{\sqrt{9-4x^2}}\,\mathrm{d}x =&\,\int\frac{1}{\sqrt{9-u^2}}\,\mathrm{d}u \\ =&\,\arcsin\biggl(\frac{u}{3}\biggr)+C \\ =&\,\arcsin\biggl(\frac{2x}{3}\biggr)+C. \end{align*}

Hence

∫3/4k29−4x2 dx= arcsin⁡(2k3)−arcsin⁡(12)= arcsin⁡(2k3)−π6.\begin{align*} \int_{3/4}^{k}\frac{2}{\sqrt{9-4x^2}}\,\mathrm{d}x =&\,\arcsin\biggl(\frac{2k}{3}\biggr) -\arcsin\biggl(\frac12\biggr) \\ =&\,\arcsin\biggl(\frac{2k}{3}\biggr)-\frac{\pi}{6}. \end{align*}

Using the given value of the integral,

arcsin⁡(2k3)−π6= π12,arcsin⁡(2k3)= π4,2k3= sin⁡π4=22.\begin{align*} \arcsin\biggl(\frac{2k}{3}\biggr)-\frac{\pi}{6} =&\,\frac{\pi}{12}, \\ \arcsin\biggl(\frac{2k}{3}\biggr) =&\,\frac{\pi}{4}, \\ \frac{2k}{3} =&\,\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}. \end{align*}

Therefore,

k=324.\boxed{k=\frac{3\sqrt2}{4}}.

This value satisfies 3/4<k<3/23/4<k<3/2, so the integrand is real and finite throughout the interval of integration.