其中 $a$、$b$ 和 $c$ 为常数。

已知 $TU=I$

(a) 求 $a$、$b$ 和 $c$ 的值

由矩阵 $T$ 表示的变换把直线 $l_1$ 变换为直线 $l_2$

已知 $l_2$ 的方程为

(b) 求 $l_1$ 的笛卡尔方程

由 $TU=I$，矩阵乘积的非对角元素应为 $0$，对角元素应为 $1$。只挑选含有待定常数且计算最简洁的几个元素建立方程，无须把整个乘积全部展开。

Equating the $(3,1)$ and $(3,3)$ entries of $TU$ to the corresponding entries of $I$ gives

Thus

Multiplying these equations by $4$ and $3$ respectively,

Adding gives $-b=-9$, so $b=9$. Substitution then gives $a=2$.

Now equate the $(1,2)$ entry of $TU$ to $0$:

so $c=-4$. Therefore,

$T$ 与 $U$ 都是方阵，而 $TU=I$，所以两者互为逆矩阵，也必有 $UT=I$。在这个乘法次序下，可以各选一个元素直接得到 $a,b,c$，计算明显更短。

Since $T$ and $U$ are square matrices and $TU=I$, we also have $UT=I$.

From the $(1,1)$ entry,

so $a=2$.

From the $(1,3)$ entry,

so $b=9$.

Finally, from the $(2,2)$ entry,

so $c=-4$. Hence

先把 $l_2$ 写成向量参数式。由于 $T$ 把 $l_1$ 变换到 $l_2$，而 $U=T^{-1}$，所以用 $U$ 分别变换 $l_2$ 的位置向量和方向向量，即可得到 $l_1$。

The line $l_2$ has vector equation

From part (a),

Since $\mathbf r_2=T\mathbf r_1$, it follows that $\mathbf r_1=U\mathbf r_2$. The position vector transforms as

The direction vector transforms as

Therefore,

so a Cartesian equation for $l_1$ is

不用显式应用逆矩阵，而是设 $l_1$ 上一点为 $(x,y,z)$，令它经过 $T$ 变换后等于 $l_2$ 的参数式。比较三个分量并联立求解，同样可得到 $l_1$ 的参数方程。

Let $(x,y,z)$ be a point on $l_1$. Its image lies on $l_2$, so

Hence

Subtracting the third equation from the first gives

Subtracting the first equation from the second gives

Therefore,

Substituting these into the third equation,

so

It follows that

Thus

and hence