椭圆 $E$ 的方程为

其中 $b$ 为常数，且 $0<b<7$

椭圆的离心率为 $e$

(a) 仅用 $e$ 表示，写出

(i) $E$ 的焦点坐标

(ii) $E$ 的准线方程

已知

• 点 $P(x,y)$ 在 $E$ 上，且 $x>0$

• 点 $S$ 是 $E$ 在正 $x$ 轴上的焦点

• 直线 $l$ 是 $E$ 在正 $x$ 轴方向的准线

• 点 $M$ 在直线 $l$ 上，且经过 $P$ 与 $M$ 的直线平行于 $x$ 轴

(b) 求

(i) 用 $e$、$x$ 和 $y$ 表示 $PS^2$

(ii) 用 $e$ 和 $x$ 表示 $PM^2$

(c) 因此证明

已知 $E$ 与 $y$ 轴交于点 $\left(0,\pm 4\sqrt3\right)$

(d) 求 $e$ 的值

已知点 $P$ 的 $x$ 坐标为

(e) 求三角形 $OPM$ 的面积，其中 $O$ 为原点。

椭圆的长半轴为 $a=7$，焦点在 $x$ 轴上。利用焦距 $c=ae$，即可直接写出两个焦点。

The semi-major axis is $a=7$, so the focal distance is

Hence the foci are

对于长轴沿 $x$ 轴的椭圆，两条准线为 $x=\pm a/e$。代入 $a=7$ 即得所求方程。

The directrices of an ellipse with semi-major axis $a$ and eccentricity $e$ are $x=\pm a/e$. Therefore,

正 $x$ 轴上的焦点为 $S=(7e,0)$。应用两点间距离公式，并保留平方形式即可。

Since $S=(7e,0)$ and $P=(x,y)$,

正 $x$ 轴方向的准线是 $x=7/e$。由于 $PM$ 平行于 $x$ 轴，$P$ 与 $M$ 的纵坐标相同，因此 $PM$ 就是两点横坐标之差的绝对值。

The directrix $l$ has equation $x=7/e$. Since $PM$ is parallel to the $x$-axis,

Therefore,

承接 (b)，使用椭圆定义 $PS=e\,PM$。平方并代入两个距离表达式后展开，交叉项会抵消；再把所得方程整理成题给椭圆的标准形式，通过比较 $y^2$ 的分母得到结论。

By the focus-directrix definition of an ellipse,

Using the results from part (b) and squaring,

Expanding both sides gives

Since $0<e<1$, divide by $49(1-e^2)$:

Comparing this with

we obtain

椭圆在 $y$ 轴上的截距为 $(0,\pm b)$，所以由题给交点得到 $b=4\sqrt3$。代入 (c) 的结果后，利用离心率为正确定唯一的 $e$。

The ellipse crosses the $y$-axis at $(0,\pm b)$. Hence

and so $b^2=48$. Using part (c),

Since an eccentricity is positive,

先用椭圆方程和 $x=7/2$ 求出 $|y|$。由 (d) 可知正向准线为 $x=7/e=49$，所以 $PM$ 是水平底边；原点到这条水平线的距离是三角形的高。无论 $P$ 在 $x$ 轴上方还是下方，面积相同。

From part (d), $b^2=48$. Substituting $x=7/2$ into the equation of the ellipse,

Thus $|y|=6$. Also, the positive directrix is

Therefore, the horizontal length $PM$ is

and the perpendicular distance from $O$ to $PM$ is $6$. Hence