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FP3 2024 Jan Q5

A Level / Edexcel / FP3

IAL 2024 Jan Paper · Question 5

题目

Problem

5.

(a) Use the definitions of hyperbolic functions in terms of exponentials to prove that

1−sech⁡2x≡tanh⁡2x1-\operatorname{sech}^2x\equiv \tanh^2x
(3)
In=∫013ln⁡2tanh⁡n(3x) dxn∈Z, n≥0I_n=\int_0^{\frac13\ln2}\tanh^n(3x)\,\mathrm{d}x \qquad n\in\mathbb Z,\ n\ge 0

(b) Show that

In=In−2−p n−13(n−1)n≥2I_n=I_{n-2}-\frac{p^{\,n-1}}{3(n-1)} \qquad n\ge 2

where pp is a rational number to be determined.

(4)

(c) Hence determine the exact value of

∫013ln⁡2tanh⁡5(3x) dx\int_0^{\frac13\ln2}\tanh^5(3x)\,\mathrm{d}x

giving your answer in the form aln⁡b+ca\ln b+c where aa, bb and cc are rational numbers to be found.

(4)
题目中文翻译

5.

(a) 利用指数形式的双曲函数定义证明

1−sech⁡2x≡tanh⁡2x1-\operatorname{sech}^2x\equiv \tanh^2x
(3)
In=∫013ln⁡2tanh⁡n(3x) dxn∈Z, n≥0I_n=\int_0^{\frac13\ln2}\tanh^n(3x)\,\mathrm{d}x \qquad n\in\mathbb Z,\ n\ge 0

(b) 证明

In=In−2−p n−13(n−1)n≥2I_n=I_{n-2}-\frac{p^{\,n-1}}{3(n-1)} \qquad n\ge 2

其中 pp 为待定有理数。

(4)

(c) 因此求

∫013ln⁡2tanh⁡5(3x) dx\int_0^{\frac13\ln2}\tanh^5(3x)\,\mathrm{d}x

的精确值，答案写成 aln⁡b+ca\ln b+c 的形式，其中 aa、bb 和 cc 为待定有理数。

(4)

解答

(a)

解法一：从左边直接化简

思路

展开

把 sech⁡x\operatorname{sech}x 写成指数形式并通分。分子展开后恰好是 (ex−e−x)2(e^x-e^{-x})^2，因而整个分式就是 tanh⁡2x\tanh^2x。

答题过程

展开

Using

sech⁡x=2ex+e−x,\operatorname{sech}x=\frac{2}{e^x+e^{-x}},

we have

1−sech⁡2x= 1−4(ex+e−x)2= (ex+e−x)2−4(ex+e−x)2= e2x−2+e−2x(ex+e−x)2= (ex−e−x)2(ex+e−x)2= (ex−e−xex+e−x)2= tanh⁡2x.\begin{align*} 1-\operatorname{sech}^2x =&\,1-\frac{4}{(e^x+e^{-x})^2} \\ =&\,\frac{(e^x+e^{-x})^2-4} {(e^x+e^{-x})^2} \\ =&\,\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}} {(e^x+e^{-x})^2} \\ =&\,\frac{(e^x-e^{-x})^2} {(e^x+e^{-x})^2} \\ =&\,\biggl( \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \biggr)^2 \\ =&\,\tanh^2x. \end{align*}

Hence

1−sech⁡2x≡tanh⁡2x.\boxed{1-\operatorname{sech}^2x\equiv\tanh^2x}.

解法二：使用平方差

思路

展开

先把 1−sech⁡2x1-\operatorname{sech}^2x 分解成平方差，再分别代入 sech⁡x\operatorname{sech}x 的指数定义。两个分子的乘积可再次用平方差合并。

答题过程

展开

By the difference of two squares,

1−sech⁡2x= (1+sech⁡x)(1−sech⁡x)= (1+2ex+e−x)(1−2ex+e−x)= ex+e−x+2ex+e−x⋅ ex+e−x−2ex+e−x= (ex+e−x)2−4(ex+e−x)2= e2x−2+e−2x(ex+e−x)2= (ex−e−x)2(ex+e−x)2= tanh⁡2x.\begin{align*} 1-\operatorname{sech}^2x =&\,(1+\operatorname{sech}x) (1-\operatorname{sech}x) \\ =&\,\biggl(1+\frac{2}{e^x+e^{-x}}\biggr) \biggl(1-\frac{2}{e^x+e^{-x}}\biggr) \\ =&\,\frac{e^x+e^{-x}+2}{e^x+e^{-x}} \\ \cdot&\,\frac{e^x+e^{-x}-2}{e^x+e^{-x}} \\ =&\,\frac{(e^x+e^{-x})^2-4} {(e^x+e^{-x})^2} \\ =&\,\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}} {(e^x+e^{-x})^2}\\ =&\,\frac{(e^x-e^{-x})^2} {(e^x+e^{-x})^2} \\ =&\,\tanh^2x. \end{align*}

Therefore,

1−sech⁡2x≡tanh⁡2x.\boxed{1-\operatorname{sech}^2x\equiv\tanh^2x}.

解法三：从右边化简

思路

展开

从 tanh⁡2x\tanh^2x 的指数定义出发，把分子 (ex−e−x)2(e^x-e^{-x})^2 改写成分母 (ex+e−x)2(e^x+e^{-x})^2 减去 44，便能拆成 1−sech⁡2x1-\operatorname{sech}^2x。

答题过程

展开

Using the exponential definition of tanh⁡x\tanh x,

tanh⁡2x= (ex−e−x)2(ex+e−x)2= e2x−2+e−2x(ex+e−x)2= e2x+2+e−2x−4(ex+e−x)2= (ex+e−x)2−4(ex+e−x)2= 1−(2ex+e−x)2= 1−sech⁡2x.\begin{align*} \tanh^2x =&\,\frac{(e^x-e^{-x})^2} {(e^x+e^{-x})^2} \\ =&\,\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}} {(e^x+e^{-x})^2}\\ =&\,\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}-4} {(e^x+e^{-x})^2}\\ =&\,\frac{(e^x+e^{-x})^2-4} {(e^x+e^{-x})^2} \\ =&\,1-\biggl( \frac{2}{e^x+e^{-x}} \biggr)^2 \\ =&\,1-\operatorname{sech}^2x. \end{align*}

Thus

1−sech⁡2x≡tanh⁡2x.\boxed{1-\operatorname{sech}^2x\equiv\tanh^2x}.

(b)

解法一

思路

展开

从 tanh⁡n(3x)\tanh^n(3x) 中拆出 tanh⁡2(3x)\tanh^2(3x)，再使用 (a) 的恒等式。第一项成为 In−2I_{n-2}；第二项令 u=tanh⁡(3x)u=\tanh(3x) 后可以直接积分。最后用指数定义精确计算上限处的双曲正切值，从而确定 pp。

答题过程

展开

Let

L=13ln⁡2.L=\frac13\ln2.

For n⩾2n\geqslant2, use the identity from part (a):

In= ∫0Ltanh⁡n−2(3x)tanh⁡2(3x) dx= ∫0Ltanh⁡n−2(3x) dx− ∫0Ltanh⁡n−2(3x)sech⁡2(3x) dx= In−2− ∫0Ltanh⁡n−2(3x)sech⁡2(3x) dx.\begin{align*} I_n =&\,\int_0^L \tanh^{n-2}(3x)\tanh^2(3x)\,\mathrm{d}x \\ =&\,\int_0^L \tanh^{n-2}(3x)\,\mathrm{d}x \\ -&\,\int_0^L \tanh^{n-2}(3x)\operatorname{sech}^2(3x) \,\mathrm{d}x \\ =&\,I_{n-2} \\ -&\,\int_0^L \tanh^{n-2}(3x)\operatorname{sech}^2(3x) \,\mathrm{d}x. \end{align*}

Let u=tanh⁡(3x)u=\tanh(3x). Then

du=3sech⁡2(3x) dx,\mathrm{d}u =3\operatorname{sech}^2(3x)\,\mathrm{d}x,

so

∫tanh⁡n−2(3x)sech⁡2(3x) dx= 13∫un−2 du= un−13(n−1)= tanh⁡n−1(3x)3(n−1).\begin{align*} \int\tanh^{n-2}(3x) \operatorname{sech}^2(3x)\,\mathrm{d}x =&\,\frac13\int u^{n-2}\,\mathrm{d}u \\ =&\,\frac{u^{n-1}}{3(n-1)} \\ =&\,\frac{\tanh^{n-1}(3x)}{3(n-1)}. \end{align*}

At the upper limit, 3L=ln⁡23L=\ln2, and

tanh⁡(ln⁡2)= eln⁡2−e−ln⁡2eln⁡2+e−ln⁡2= 2−122+12= 35,\begin{align*} \tanh(\ln2) =&\,\frac{e^{\ln2}-e^{-\ln2}} {e^{\ln2}+e^{-\ln2}} \\ =&\,\frac{2-\frac12}{2+\frac12} \\ =&\,\frac35, \end{align*}

while tanh⁡0=0\tanh0=0. Therefore,

In= In−2− 13(n−1)[tanh⁡n−1(3x)]0L= In−2−(3/5)n−13(n−1).\begin{align*} I_n =&\,I_{n-2} \\ -&\,\frac{1}{3(n-1)} \biggl[ \tanh^{n-1}(3x) \biggr]_0^L \\ =&\,I_{n-2} -\frac{(3/5)^{n-1}}{3(n-1)}. \end{align*}

Thus the required recurrence relation is

In=In−2−p n−13(n−1)\boxed{ I_n=I_{n-2}-\frac{p^{\,n-1}}{3(n-1)} }

where

p=35.\boxed{p=\frac35}.

(c)

解法一

思路

展开

本小题必须承接 (b)：先用递推式把 I5I_5 化成 I3I_3，再把 I3I_3 化成 I1I_1。最后直接积分 I1I_1，并用 cosh⁡(ln⁡2)=5/4\cosh(\ln2)=5/4 求出对数项。

答题过程

展开

Using the reduction formula from part (b),

I5= I3−(3/5)43(5−1),I3= I1−(3/5)23(3−1).\begin{align*} I_5 =&\,I_3-\frac{(3/5)^4}{3(5-1)}, \\ I_3 =&\,I_1-\frac{(3/5)^2}{3(3-1)}. \end{align*}

Hence

I5= I1−(3/5)26− (3/5)412.\begin{align*} I_5 =&\,I_1-\frac{(3/5)^2}{6} \\ -&\,\frac{(3/5)^4}{12}. \end{align*}

Also,

I1= ∫0Ltanh⁡(3x) dx= 13[ln⁡(cosh⁡3x)]0L= 13ln⁡(cosh⁡(ln⁡2)).\begin{align*} I_1 =&\,\int_0^L\tanh(3x)\,\mathrm{d}x \\ =&\,\frac13 \bigl[\ln(\cosh3x)\bigr]_0^L \\ =&\,\frac13\ln\bigl(\cosh(\ln2)\bigr). \end{align*}

Since

cosh⁡(ln⁡2)= eln⁡2+e−ln⁡22= 2+122= 54.\begin{align*} \cosh(\ln2) =&\,\frac{e^{\ln2}+e^{-\ln2}}{2} \\ =&\,\frac{2+\frac12}{2} \\ =&\,\frac54. \end{align*}

we obtain

I5= 13ln⁡54−9150−817500= 13ln⁡54−1772500.\begin{align*} I_5 =&\,\frac13\ln\frac54 -\frac{9}{150}-\frac{81}{7500} \\ =&\,\frac13\ln\frac54-\frac{177}{2500}. \end{align*}

Therefore,

13ln⁡54−1772500.\boxed{ \frac13\ln\frac54-\frac{177}{2500} }.

Thus a=13a=\frac13, b=54b=\frac54 and c=−1772500c=-\frac{177}{2500}.