题目

Problem

The points $A$ , $B$ and $C$ have coordinates $(3,2,2)$ , $(-1,1,3)$ and $(-2,4,2)$ respectively.

The plane $\Pi_1$ contains the points $A$ , $B$ and $C$

(a) Determine a Cartesian equation of $\Pi_1$

Given that

• point $D$ has coordinates $(-1,1,-2)$

• line $l$ passes through $D$ and is perpendicular to $\Pi_1$

• plane $\Pi_2$ has equation $\mathbf r\cdot(14\mathbf i-\mathbf j-17\mathbf k)=-66$

• $l$ meets $\Pi_2$ at the point $E$

(b) show that $DE=p\sqrt{22}$ where $p$ is a rational number to be determined.

The point $F$ has coordinates $(4,3,q)$ where $q$ is a constant.

Given that $A$ , $B$ , $C$ and $F$ are the vertices of a tetrahedron of volume 12

(12)

题目中文翻译

点 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的坐标分别为 $(3,2,2)$ 、 $(-1,1,3)$ 和 $(-2,4,2)$ 。

平面 $\Pi_1$ 包含点 $A$ 、 $B$ 和 $C$

(a) 求 $\Pi_1$ 的笛卡尔方程

已知

• 点 $D$ 的坐标为 $(-1,1,-2)$

• 直线 $l$ 过点 $D$ 且垂直于 $\Pi_1$

• 平面 $\Pi_2$ 的方程为 $\mathbf r\cdot(14\mathbf i-\mathbf j-17\mathbf k)=-66$

• $l$ 与 $\Pi_2$ 交于点 $E$

(b) 证明 $DE=p\sqrt{22}$ ，其中 $p$ 为待定有理数。

点 $F$ 的坐标为 $(4,3,q)$ ，其中 $q$ 为常数。

已知 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和 $F$ 是体积为 12 的四面体的顶点

解答

(a)

解法一：使用叉积求法向量

思路

展开

先由三个已知点构造平面内的两个方向向量，再取叉积得到法向量。最后将点 $A$ 代入点法式，求出平面的常数项。

答题过程

展开

Two direction vectors in $\Pi_1$ are

\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix}-4\\-1\\1\end{pmatrix}.

Also,

\overrightarrow{AC}= \begin{pmatrix}-5\\2\\0\end{pmatrix}.

A normal vector to the plane is

\begin{align*} \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =&\, \begin{pmatrix} (-1)(0)-(1)(2)\\ (1)(-5)-(-4)(0)\\ (-4)(2)-(-1)(-5) \end{pmatrix} \\ =&\, \begin{pmatrix}-2\\-5\\-13\end{pmatrix}. \end{align*}

We may therefore use the opposite normal vector

\mathbf n= \begin{pmatrix}2\\5\\13\end{pmatrix}.

Since $A=(3,2,2)$ lies on $\Pi_1$ ,

\begin{align*} \begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix} \mathbin{\cdot}\mathbf n =&\,2(3)+5(2)+13(2) \\ =&\,42. \end{align*}

Hence a Cartesian equation of $\Pi_1$ is

\boxed{2x+5y+13z=42}.

解法二：设一般平面方程

思路

展开

设平面方程为 $\alpha x+\beta y+\gamma z=1$ ，把三个点逐一代入，得到关于三个系数的线性方程组。解出系数后清除分母即可。

答题过程

展开

Let the plane have equation

\alpha x+\beta y+\gamma z=1.

Substituting $A$ , $B$ and $C$ gives

\begin{align*} 3\alpha+2\beta+2\gamma=&\,1, \\ -\alpha+\beta+3\gamma=&\,1, \\ -2\alpha+4\beta+2\gamma=&\,1. \end{align*}

Subtracting the second equation from the first and third equations respectively gives

4\alpha+\beta-\gamma=0, \qquad -\alpha+3\beta-\gamma=0.

Subtracting these two equations,

5\alpha-2\beta=0,

so $\beta=5\alpha/2$ . The second of the preceding equations then gives $\gamma=13\alpha/2$ .

Substituting into $-\alpha+\beta+3\gamma=1$ ,

\begin{align*} -\alpha+\frac{5\alpha}{2} +\frac{39\alpha}{2}=&\,1, \\ 21\alpha=&\,1. \end{align*}

Therefore,

\alpha=\frac1{21}, \qquad \beta=\frac5{42}, \qquad \gamma=\frac{13}{42}.

The plane equation is

\frac{x}{21}+\frac{5y}{42}+\frac{13z}{42}=1.

Multiplying by $42$ gives

\boxed{2x+5y+13z=42}.

(b)

解法一：使用直线参数方程

思路

展开

直线 $l$ 垂直于 $\Pi_1$ ，所以它的方向向量就是 (a) 得到的法向量。以 $D$ 为已知点写出参数方程，代入 $\Pi_2$ 求交点参数；由于参数乘以方向向量的长度就是 $DE$ ，无须先写出 $E$ 的全部坐标。

答题过程

展开

Since $l$ is perpendicular to $\Pi_1$ , it has direction vector

\mathbf n= \begin{pmatrix}2\\5\\13\end{pmatrix}.

As $l$ passes through $D=(-1,1,-2)$ , its vector equation is

\begin{align*} \mathbf r =&\,\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix} \\ +&\,\lambda \begin{pmatrix}2\\5\\13\end{pmatrix}. \end{align*}

Thus a point on $l$ has coordinates

x=2\lambda-1, \qquad y=5\lambda+1, \qquad z=13\lambda-2.

At $E$ , these coordinates also satisfy $\Pi_2$ . Therefore,

\begin{align*} 14(2\lambda-1) &\,-(5\lambda+1) \\ &\,-17(13\lambda-2)=-66, \\ -198\lambda+19=&\,-66, \\ \lambda=&\,\frac{85}{198}. \end{align*}

The magnitude of the direction vector is

\begin{align*} |\mathbf n| =&\,\sqrt{2^2+5^2+13^2} \\ =&\,\sqrt{198}=3\sqrt{22}. \end{align*}

Hence

\begin{align*} DE =&\,|\lambda|\,|\mathbf n| \\ =&\,\frac{85}{198}\times3\sqrt{22} \\ =&\,\frac{85}{66}\sqrt{22}. \end{align*}

Therefore,

\boxed{p=\frac{85}{66}}.

解法二：联立直线的笛卡尔方程

思路

展开

把 $l$ 写成对称式，以 $x$ 表示 $y,z$ ，再代入 $\Pi_2$ 直接求出交点 $E$ 。最后将 $\overrightarrow{DE}$ 提取成法向量的倍数，计算距离。

答题过程

展开

A Cartesian form of $l$ is

\frac{x+1}{2} =\frac{y-1}{5} =\frac{z+2}{13}.

Hence

y=\frac{5x+7}{2}, \qquad z=\frac{13x+9}{2}.

Substituting into $14x-y-17z=-66$ gives

\begin{align*} 14x-\frac{5x+7}{2} -17\biggl(\frac{13x+9}{2}\biggr) =&\,-66, \\ -198x-160=&\,-132, \\ x=&\,-\frac{14}{99}. \end{align*}

Therefore,

y=\frac{623}{198}, \qquad z=\frac{709}{198},

E=\biggl(-\frac{14}{99}, \frac{623}{198}, \frac{709}{198}\biggr).

It follows that

\begin{align*} \overrightarrow{DE} =&\, \begin{pmatrix} -\frac{14}{99}+1\\ \frac{623}{198}-1\\ \frac{709}{198}+2 \end{pmatrix} \\ =&\,\frac{85}{198} \begin{pmatrix}2\\5\\13\end{pmatrix}. \end{align*}

Thus

\begin{align*} DE =&\,\frac{85}{198} \sqrt{2^2+5^2+13^2} \\ =&\,\frac{85}{66}\sqrt{22}. \end{align*}

Therefore,

\boxed{p=\frac{85}{66}}.

(c)

解法一：使用标量三重积

思路

展开

四面体体积是由同一点出发的三个棱向量所成平行六面体体积的六分之一。(a) 中的法向量与 $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ 只差一个负号，因此可直接用它和 $\overrightarrow{AF}$ 作数量积，再利用绝对值同时保留顶点 $F$ 位于平面两侧的两种可能。

答题过程

展开

We have

\overrightarrow{AF}= \begin{pmatrix}1\\1\\q-2\end{pmatrix}.

Also, from part (a),

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =- \begin{pmatrix}2\\5\\13\end{pmatrix}.

The volume of tetrahedron $ABCF$ is therefore

\begin{align*} V =&\,\frac16 \Bigg| \overrightarrow{AF}\mathbin{\cdot} \bigl( \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} \bigr) \Bigg| \\ =&\,\frac16 \bigl|2+5+13(q-2)\bigr| \\ =&\,\frac16|13q-19|. \end{align*}

Since the volume is $12$ ,

\begin{align*} \frac16|13q-19|=&\,12, \\ |13q-19|=&\,72. \end{align*}

Thus

13q-19=72 \qquad\text{or}\qquad 13q-19=-72.

Hence the possible values are

\boxed{q=7\quad\text{or}\quad q=-\frac{53}{13}}.

IAL 2024 Jan FP3 Q6

题目

解答

(a)

解法一：使用叉积求法向量

思路

答题过程

解法二：设一般平面方程

思路

答题过程

(b)

解法一：使用直线参数方程

思路

答题过程

解法二：联立直线的笛卡尔方程

思路

答题过程

(c)

解法一：使用标量三重积

思路

答题过程