7.

(a) 证明

图 1 给出了曲线 $C$ 的一部分草图，其方程为 $y=f(x)$，其中

点 $P$ 是 $C$ 的一个极小转折点

(b) 证明 $P$ 的 $x$ 坐标为 $\ln(q+\sqrt q)$，其中 $q=\frac12(1+\sqrt{k})$，且 $k$ 为待定整数。

对复合函数直接求导，再用 $1-\operatorname{sech}^2x=\tanh^2x$ 化简根式。条件 $x>0$ 保证 $\tanh x>0$，所以 $\sqrt{\tanh^2x}=\tanh x$，不能遗漏这一符号判断。

Using the chain rule,

Since

and $x>0$, we have $\tanh x>0$. Hence

Therefore,

先把反余弦关系改写为 $\cos y=\operatorname{sech}x$，再隐式求导。由 $x>0$ 可知 $0<y<\pi/2$，因此 $\sin y$ 与 $\tanh x$ 都为正，可以从平方恒等式确定 $\sin y=\tanh x$。

The equation may be written as

Differentiating implicitly,

Also,

For $x>0$, both $\sin y$ and $\tanh x$ are positive, so

Substituting this into the differentiated equation gives

Since $\tanh x\ne0$ for $x>0$,

利用 (a) 的结果对 $f(x)$ 求导，并令极小转折点处的导数为零。把所得双曲函数方程改写成关于 $\cosh x$ 的二次方程；取符合 $x>0$ 的正根后，再使用 $\operatorname{arcosh}$ 的对数形式，并借助二次方程本身把根号内化成 $q$。

From part (a),

At the turning point $P$, $f'(x)=0$. Thus

Using $\sinh^2x=\cosh^2x-1$,

Hence

Since $x>0$, $\cosh x>1$, so

Let

Then $q^2-q-1=0$, so $q^2-1=q$. Therefore,

Thus the $x$ coordinate of $P$ is

Here