题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

Figure 2 shows a sketch of part of the curve $C$ with equation $y^2=8x$ and part of the line $l$ with equation $x=18$

The region $R$ , shown shaded in Figure 2, is bounded by $C$ and $l$

(a) Show that the perimeter of $R$ is given by

\alpha+2\int_0^{\beta}\sqrt{1+\frac{y^2}{16}}\,\mathrm{d}y

where $\alpha$ and $\beta$ are positive constants to be determined.

(3)

(b) Use the substitution $y=4\sinh u$ and algebraic integration to determine the exact perimeter of $R$ , giving your answer in simplest form.

(6)

题目中文翻译

本题中你必须写出所有解题步骤。

完全依赖计算器技术的解法不予接受。

图 2 给出了曲线 $C$ 的一部分草图，其方程为 $y^2=8x$ ，以及直线 $l$ 的一部分，其方程为 $x=18$

所示阴影区域 $R$ 由 $C$ 与 $l$ 围成

(a) 证明 $R$ 的周长可表示为

\alpha+2\int_0^{\beta}\sqrt{1+\frac{y^2}{16}}\,\mathrm{d}y

其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 为待定正数。

(3)

(b) 使用代换 $y=4\sinh u$ 以及代数积分求 $R$ 的精确周长，答案写成最简形式。

(6)

解答

(a)

解法一

思路

展开

把抛物线写成 $x=y^2/8$ ，以 $y$ 为变量使用弧长公式。直线 $x=18$ 与抛物线交于 $y=\pm12$ ；边界包括长度为 $24$ 的竖直线段，以及关于 $x$ 轴对称的两段抛物线弧。

答题过程

展开

From $y^2=8x$ ,

x=\frac{y^2}{8}, \qquad \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac y4.

At $x=18$ ,

y^2=8(18)=144,

so the points of intersection have $y=\pm12$ . The vertical part of the boundary therefore has length

12-(-12)=24.

The length of the upper curved part is

\begin{align*} \int_0^{12} \sqrt{1+\biggl(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\biggr)^2} \,\mathrm{d}y =&\,\int_0^{12} \sqrt{1+\frac{y^2}{16}}\,\mathrm{d}y. \end{align*}

By symmetry, the two curved parts have equal length. Hence

\begin{align*} \operatorname{Perimeter}(R) =&\,24 \\ +&\,2\int_0^{12} \sqrt{1+\frac{y^2}{16}}\,\mathrm{d}y. \end{align*}

Therefore,

\boxed{\alpha=24,\qquad\beta=12}.

(b)

解法一：使用双角恒等式积分

思路

展开

按照题目指定令 $y=4\sinh u$ 。根式化为 $\cosh u$ ，并与 $\mathrm{d}y=4\cosh u\,\mathrm{d}u$ 合并成 $4\cosh^2u$ ；再用双角恒等式积分。上限由 $\sinh U=3$ 确定。

答题过程

展开

Let

y=4\sinh u.

Then

\mathrm{d}y=4\cosh u\,\mathrm{d}u.

When $y=0$ , $u=0$ . When $y=12$ , let $u=U$ , where

\sinh U=3.

Thus

U=\operatorname{arsinh}3 =\ln(3+\sqrt{10}).

Let

J=\int_0^{12}\sqrt{1+\frac{y^2}{16}}\,\mathrm{d}y.

Since $\cosh u>0$ ,

\sqrt{1+\sinh^2u}=\cosh u.

Therefore,

\begin{align*} J =&\,4\int_0^U\cosh^2u\,\mathrm{d}u \\ =&\,4\int_0^U \frac{1+\cosh2u}{2}\,\mathrm{d}u \\ =&\,\bigl[2u+\sinh2u\bigr]_0^U. \end{align*}

Also,

\begin{align*} \cosh U =&\,\sqrt{1+\sinh^2U} \\ =&\,\sqrt{10}, \\ \sinh2U =&\,2\sinh U\cosh U \\ =&\,6\sqrt{10}. \end{align*}

Hence

J=6\sqrt{10}+2\ln(3+\sqrt{10}).

Using part (a),

\begin{align*} \operatorname{Perimeter}(R) =&\,24+2J \\ =&\,24+12\sqrt{10} \\ +&\,4\ln(3+\sqrt{10}). \end{align*}

Therefore, the exact perimeter is

\boxed{24+12\sqrt{10}+4\ln(3+\sqrt{10})}.

解法二：展开为指数函数积分

思路

展开

仍使用题目指定的双曲正弦代换，但将 $\cosh^2u$ 展开为指数函数后逐项积分。利用 $e^U=3+\sqrt{10}$ 与 $e^{-U}=\sqrt{10}-3$ 化简端点值。

答题过程

展开

As in the first method, set $y=4\sinh u$ and

U=\operatorname{arsinh}3 =\ln(3+\sqrt{10}).

Then

J=4\int_0^U\cosh^2u\,\mathrm{d}u.

Using the exponential definition of $\cosh u$ ,

\begin{align*} 4\cosh^2u =&\,(e^u+e^{-u})^2 \\ =&\,e^{2u}+2+e^{-2u}. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} J =&\,\int_0^U \bigl(e^{2u}+2+e^{-2u}\bigr)\,\mathrm{d}u \\ =&\,\biggl[ \frac12e^{2u}+2u-\frac12e^{-2u} \biggr]_0^U \\ =&\,\frac12\bigl(e^{2U}-e^{-2U}\bigr)+2U. \end{align*}

Since

e^U=3+\sqrt{10}, \qquad e^{-U}=\sqrt{10}-3,

we have

\begin{align*} e^{2U}-e^{-2U} =&\,(e^U-e^{-U})(e^U+e^{-U}) \\ =&\,6(2\sqrt{10}) \\ =&\,12\sqrt{10}. \end{align*}

Thus

J=6\sqrt{10}+2\ln(3+\sqrt{10}).

Consequently,

\boxed{ \operatorname{Perimeter}(R) =24+12\sqrt{10}+4\ln(3+\sqrt{10}) }.

FP3 2024 Jan Q8

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一：使用双角恒等式积分

思路

答题过程

解法二：展开为指数函数积分

思路

答题过程