双曲线 $H$ 满足：

• 焦点坐标为 $\left(\pm \frac{13}{2}, 0\right)$

• 准线方程为 $x = \pm \frac{72}{13}$

• 离心率为 $e$

求

(a) $e$ 的值

(b) $H$ 的方程，答案写成 $px^2 - qy^2 = r$ 的形式，其中 $p$、$q$ 和 $r$ 为整数。

设双曲线的半实轴长为 $a$。焦点到中心的距离为 $ae$，准线到中心的距离为 $a/e$。把题目给出的两个距离相除，便可直接求出 $e^2$。

For a hyperbola with transverse axis along the $x$-axis,

Dividing the first equation by the second gives

Since the eccentricity is positive,

先由 $ae=13/2$ 和 (a) 的离心率求 $a$，再用 $b^2=a^2(e^2-1)$ 求半虚轴长的平方。代入标准方程后，清除分母即可得到题目指定的整数系数形式。

Using $ae=13/2$ and the value of $e$ from part (a),

Also,

Hence the equation of $H$ is

Multiplying by $900$ gives

对双曲线右支上的点 $P(x,y)$，使用“到焦点的距离等于离心率乘以到相应准线的距离”。平方后代入 (a) 的 $e$，展开时一次项会正好消去，直接得到所求方程。

For a point $P(x,y)$ on the right-hand branch, use the focus $\bigl(13/2,0\bigr)$ and the corresponding directrix $x=72/13$. By the focus-directrix definition,

Expanding both sides,

Therefore,