2.

本题中你必须写出所有解题步骤。

完全依赖计算器技术的解法不予接受。

已知 $M$ 恰有两个不同的特征值 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$，且 $\lambda_1<\lambda_2$

(a) 求对应于特征值 $\lambda_1$ 的单位特征向量

直线 $l_1$ 的方程为

其中 $\mu$ 为标量参数。

变换 $T$ 由矩阵 $M$ 表示。

直线 $l_1$ 经 $T$ 变换后得到直线 $l_2$

(b) 求 $l_2$ 的向量方程，答案写成 $\mathbf r\times\mathbf b=\mathbf c$ 的形式，其中 $\mathbf b$ 和 $\mathbf c$ 为常向量。

先计算特征多项式并找出两个不同的特征值。由于 $\lambda_1<\lambda_2$，取较小的 $-6$；随后解 $(M+6I)\mathbf v=\mathbf0$，最后把所得特征向量除以其模长。

The characteristic equation is

Thus the two distinct eigenvalues are $-6$ and $2$, so

Let $\mathbf v=(x,y,z)^{\mathsf T}$ be an eigenvector corresponding to $\lambda_1$. From $(M+6I)\mathbf v=\mathbf0$,

Taking $z=8$ gives $x=-3$ and $y=12$. Hence one eigenvector is

Its magnitude is

Therefore, a normalised eigenvector corresponding to $\lambda_1$ is

不展开三阶行列式，而是直接写出 $M\mathbf v=\lambda\mathbf v$ 的三个分量方程。由后两个方程消去 $y$，即可得到关于 $\lambda$ 的二次方程；再处理 $z=0$ 的情形，便能完整确定两个不同的特征值。

Let $\mathbf v=(x,y,z)^{\mathsf T}$ be a non-zero eigenvector. The equation $M\mathbf v=\lambda\mathbf v$ gives

If $z=0$, the third equation gives $y=0$. Since $\mathbf v$ is non-zero, $x\ne0$, and the first equation then gives $\lambda=2$.

If $z\ne0$, the third equation gives

Substituting this into the second equation,

Hence the two distinct eigenvalues are $-6$ and $2$, so $\lambda_1=-6$. Substituting $\lambda=-6$ into the component equations gives

Taking $z=8$ gives the eigenvector

Therefore, after normalising, one suitable answer is

由特征方程已知 $\lambda_1=-6$。特征向量须与 $M+6I$ 的每一行垂直，因此可以叉乘其中两条不平行的行向量，再检查第三行并归一化。

From the characteristic equation, $\lambda_1=-6$. Thus an eigenvector $\mathbf v$ satisfies $(M+6I)\mathbf v=\mathbf0$, where

The first two rows are not parallel. A vector perpendicular to both is

The third row also has zero dot product with $(-3,12,8)$, since $-4(12)+6(8)=0$. Therefore, dividing by its magnitude $\sqrt{9+144+64}=\sqrt{217}$ gives

线性变换会把直线上的位置向量和方向向量分别左乘 $M$。得到 $l_2$ 的一点和方向后，利用恒等式“直线上任一点的位置向量与方向向量的叉积为常向量”，即可写成题目指定的形式。

Under the transformation represented by $M$, the position vector becomes

and the direction vector becomes

Thus $l_2$ may first be written as

Taking the cross product with its direction vector,

Therefore,

在 $l_1$ 上分别取 $\mu=0$ 和 $\mu=1$ 所得的两点，将它们都作矩阵变换。两幅像之差就是 $l_2$ 的方向向量，再用其中一点写出叉积形式。

Two points on $l_1$, obtained by taking $\mu=0$ and $\mu=1$, are

Their images under $T$ are

Hence a direction vector of $l_2$ is

Using the point $P'$,

Therefore,