3.

(a) 证明

(b) 求使 $f'(x)=0$ 的 $x$ 的精确值。

把 $\sqrt{x^2-1}$ 视为内层函数，直接使用 $\operatorname{arsinh}u$ 的求导公式。化简时必须利用 $x>1$，从而把 $\sqrt{x^2}$ 写成 $x$ 而不是遗漏绝对值。

Let

Then

Using

we obtain

Since $x>1$, $\sqrt{x^2}=x$. Therefore,

对等式两边取 $\sinh$，再作隐式求导。双曲恒等式可把 $\cosh y$ 化为 $x$；其中 $\cosh y>0$ 且 $x>1$，因此取正根。

Taking $\sinh$ of both sides gives

Differentiating implicitly,

Also, using $\cosh^2y-\sinh^2y=1$,

Since $\cosh y>0$ and $x>1$, it follows that $\cosh y=x$. Hence

so

先用 $\operatorname{arsinh}u=\ln\bigl(u+\sqrt{u^2+1}\bigr)$ 把函数改写成普通对数，再求导。条件 $x>1$ 同样确保 $\sqrt{x^2}=x$。

Using the logarithmic form of $\operatorname{arsinh}$,

where $\sqrt{x^2}=x$ because $x>1$. Therefore,

使用 (a) 的结果求 $f'(x)$，再令其为零。交叉相乘后两边均为正，因此平方不会引入符号分支；解关于 $x^2$ 的二次方程后，还要用定义域 $x>1$ 只保留正根。

Using the result from part (a),

Hence $f'(x)=0$ gives

For $x>1$, both sides are positive, so squaring is reversible. Thus

Therefore $x^2=2$ or $x^2=5$. Since $x>1$, the exact values are