4.

(a) 利用双曲函数的指数定义证明

(b) 因此将 $10\sinh x+8\cosh x$ 写成 $R\sinh(x+\alpha)$ 的形式，其中 $R>0$，并把 $\alpha$ 写成 $\ln p$ 的形式，这里 $p$ 为整数。

(c) 因此求解方程

答案写成 $\ln(\sqrt7+q)$ 的形式，其中 $q$ 为待定有理数。

题目指定使用指数定义，因此从等式右边出发，把四个双曲函数全部改写成指数形式。完整展开八项后，中间的交叉项两两抵消，余下的两项正好组成 $\sinh(A+B)$。

Using the exponential definitions of the hyperbolic functions,

Hence

使用 (a) 的加法公式展开 $R\sinh(x+\alpha)$，比较 $\sinh x$ 和 $\cosh x$ 的系数。两个系数方程的平方相减可求 $R$，相除则得到 $\tanh\alpha$；最后用反双曲正切的对数形式求 $\alpha$。

By the identity proved in part (a),

Comparing coefficients with $10\sinh x+8\cosh x$ gives

Using $\cosh^2\alpha-\sinh^2\alpha=1$,

Since $R>0$, $R=6$. Also,

Therefore,

Hence

比较系数后，将 $R\cosh\alpha=10$ 与 $R\sinh\alpha=8$ 相加、相减。利用 $\cosh\alpha+\sinh\alpha=e^\alpha$ 及 $\cosh\alpha-\sinh\alpha=e^{-\alpha}$，可以直接求出 $\alpha$ 和正数 $R$。

As in the first method, comparison of coefficients gives

Adding and subtracting these equations,

Dividing the equations gives

Since $e^\alpha>0$, $e^\alpha=3$, and hence $\alpha=\ln3$. Multiplying the two equations gives $R^2=36$, so $R=6$ because $R>0$. Therefore,

必须承接 (b)，先把原方程改写成关于 $\sinh(x+\ln3)$ 的方程。用 $\operatorname{arsinh}$ 的对数形式求出 $x+\ln3$，再利用对数减法整理成题目指定的形式。

Using the result from part (b),

so

Therefore,

Hence

Thus $q=8/3$.

Since $\sinh$ is one-to-one, this is the only real solution.