题目

Problem

4x^2+4x+17\equiv(2x+p)^2+q

where $p$ and $q$ are integers.

(a) Determine the value of $p$ and the value of $q$

Given that

\frac{8x+5}{\sqrt{4x^2+4x+17}} \equiv \frac{1}{\sqrt{4x^2+4x+17}}+\frac{Ax+B}{\sqrt{4x^2+4x+17}}

where $A$ and $B$ are integers,

(b) write down the value of $A$ and the value of $B$

\int_{1/3}^1 \frac{8x+5}{\sqrt{4x^2+4x+17}}\,dx = k+\frac12\ln k

where $k$ is a rational number to be determined.

(8)

题目中文翻译

4x^2+4x+17\equiv(2x+p)^2+q

其中 $p$ 和 $q$ 为整数。

(a) 求 $p$ 和 $q$

已知

\frac{8x+5}{\sqrt{4x^2+4x+17}} \equiv \frac{1}{\sqrt{4x^2+4x+17}}+\frac{Ax+B}{\sqrt{4x^2+4x+17}}

其中 $A$ 和 $B$ 为整数，

(b) 写出 $A$ 和 $B$ 的值

\int_{1/3}^1 \frac{8x+5}{\sqrt{4x^2+4x+17}}\,dx = k+\frac12\ln k

其中 $k$ 为待定有理数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

展开右边的平方后比较 $x$ 的系数与常数项，即可依次求出整数 $p$ 、 $q$ 。

答题过程

展开

Expanding the right-hand side,

(2x+p)^2+q =4x^2+4px+p^2+q.

Comparing coefficients with $4x^2+4x+17$ gives

4p=4, \qquad p^2+q=17.

Hence

\boxed{p=1,\qquad q=16}.

In particular,

4x^2+4x+17=(2x+1)^2+16.

(b)

解法一

思路

展开

三个分式的分母相同，直接比较分子的一次项和常数项即可。

答题过程

展开

Comparing the numerators,

8x+5=1+Ax+B.

Therefore,

\boxed{A=8,\qquad B=4}.

(c)

解法一

思路

展开

必须承接 (a)、(b)：把原积分拆成两项，其中第一项利用 (a) 的配方结果化为 $\operatorname{arsinh}$ 积分，第二项的分子正好是根号内二次式的导数。代入上下限后，再用反双曲正弦的对数形式合并结果。

答题过程

展开

Using the results from parts (a) and (b), let

I=\int_{1/3}^{1} \frac{8x+5}{\sqrt{4x^2+4x+17}} \,\mathrm{d}x.

Then

\begin{align*} I =&\,\int_{1/3}^{1} \frac{1}{\sqrt{(2x+1)^2+16}} \,\mathrm{d}x \\ &\,+\int_{1/3}^{1} \frac{8x+4}{\sqrt{4x^2+4x+17}} \,\mathrm{d}x. \end{align*}

For the first integral, use

u=\frac{2x+1}{4}, \qquad \mathrm{d}x=2\,\mathrm{d}u.

Thus

\begin{align*} &\,\int \frac{1}{\sqrt{(2x+1)^2+16}} \,\mathrm{d}x \\ =&\,\frac12\int \frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \,\mathrm{d}u \\ =&\,\frac12\operatorname{arsinh}u \\ =&\,\frac12\operatorname{arsinh} \biggl(\frac{2x+1}{4}\biggr). \end{align*}

Also, since

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigl(4x^2+4x+17\bigr) =8x+4,

we have

\int \frac{8x+4}{\sqrt{4x^2+4x+17}} \,\mathrm{d}x =2\sqrt{4x^2+4x+17}.

Therefore,

\begin{align*} I =&\,\biggl[ \frac12\operatorname{arsinh} \biggl(\frac{2x+1}{4}\biggr) +2\sqrt{4x^2+4x+17} \biggr]_{1/3}^{1} \\ =&\,\frac12\biggl[ \operatorname{arsinh}\frac34 -\operatorname{arsinh}\frac{5}{12} \biggr] \\ &\,+10-\frac{26}{3}. \end{align*}

Using

\operatorname{arsinh}t =\ln\bigl(t+\sqrt{t^2+1}\bigr),

we have

\operatorname{arsinh}\frac34 =\ln\biggl(\frac34+\frac54\biggr) =\ln2,

and

\operatorname{arsinh}\frac{5}{12} =\ln\biggl(\frac{5}{12}+\frac{13}{12}\biggr) =\ln\frac32.

Hence

\begin{align*} I =&\,\frac43 +\frac12\biggl(\ln2-\ln\frac32\biggr) \\ =&\,\frac43+\frac12\ln\frac43. \end{align*}

Thus

\boxed{k=\frac43},

and the required form is

\boxed{ \int_{1/3}^{1} \frac{8x+5}{\sqrt{4x^2+4x+17}} \,\mathrm{d}x =k+\frac12\ln k }.

IAL 2024 June FP3 Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程