题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

Figure 1 shows the curve with equation

y=\ln\big(\tanh\frac x2\big)\qquad 1\le x\le 2

(a) Show that the length, $s$ , of the curve is given by

s=\int_1^2 \coth x\,\mathrm{d}x

(4)

(b) Hence show that

s=\ln\big(e+\frac1e\big)

(4)

题目中文翻译

本题中你必须写出所有解题步骤。

依赖计算器技术的解法不予接受。

图 1 给出了曲线，其方程为

y=\ln\big(\tanh\frac x2\big)\qquad 1\le x\le 2

(a) 证明曲线长度 $s$ 满足

s=\int_1^2 \coth x\,\mathrm{d}x

(4)

(b) 因此证明

s=\ln\big(e+\frac1e\big)

(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

先对 $y=\ln(\tanh(x/2))$ 求导，并用二倍角公式把导数化为 $\operatorname{cosech}x$ 。代入弧长公式后，再用 $1+\operatorname{cosech}^2x=\coth^2x$ ；由于区间内 $\coth x>0$ ，开平方后就是 $\coth x$ 。

答题过程

展开

Differentiating,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{1}{\tanh(x/2)} \cdot\frac12\operatorname{sech}^2\frac{x}{2} \\ =&\,\frac{1}{ 2\sinh(x/2)\cosh(x/2) } \\ =&\,\frac{1}{\sinh x} =\operatorname{cosech}x. \end{align*}

The arc length is therefore

\begin{align*} s =&\,\int_1^2 \sqrt{ 1+\biggl(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\biggr)^2 } \,\mathrm{d}x \\ =&\,\int_1^2 \sqrt{1+\operatorname{cosech}^2x} \,\mathrm{d}x \\ =&\,\int_1^2\sqrt{\coth^2x}\,\mathrm{d}x. \end{align*}

Since $1\leqslant x\leqslant2$ , $\coth x>0$ . Hence

\boxed{ s=\int_1^2\coth x\,\mathrm{d}x }.

(b)

解法一

思路

展开

承接 (a)，利用 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln(\sinh x)=\coth x$ 完成积分。代入上下限后，再用 $\sinh2x=2\sinh x\cosh x$ 约去 $\sinh1$ ，即可直接得到题设形式。

答题过程

展开

Using the result from part (a),

\begin{align*} s =&\,\int_1^2\coth x\,\mathrm{d}x \\ =&\,\bigl[\ln(\sinh x)\bigr]_1^2 \\ =&\,\ln\biggl(\frac{\sinh2}{\sinh1}\biggr). \end{align*}

Since $\sinh2=2\sinh1\cosh1$ ,

\frac{\sinh2}{\sinh1} =2\cosh1 =e+\frac1e.

Therefore,

\boxed{ s=\ln\biggl(e+\frac1e\biggr) }.

FP3 2024 June Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程