题目

Problem

The hyperbola H has equation

kx^2 - y^2 = 9

where $k$ is a positive constant.

Given that the point $(6, 0)$ is a focus of H

(a) determine the value of $k$ .

(b) Hence determine an equation of the corresponding directrix of H

(4)

(2)

题目中文翻译

双曲线 H 的方程为

kx^2 - y^2 = 9

其中 $k$ 为正实数。

已知点 $(6,0)$ 是 H 的一个焦点，

(a) 求 $k$ 的值。

(b) 从而求 H 对应的准线方程。

解答

展开

先把双曲线写成标准形式，读出 $a^2$ 与 $b^2$ 。焦点为 $(6,0)$ ，所以焦距参数 $c=6$ ；再使用双曲线关系 $c^2=a^2+b^2$ 求出 $k$ 。

展开

Writing the equation in standard form,

\frac{x^2}{9/k}-\frac{y^2}{9}=1.

Therefore,

a^2=\frac9k, \qquad b^2=9.

Since $(6,0)$ is a focus, $c=6$ . For a hyperbola, $c^2=a^2+b^2$ , so

\begin{align*} 36=&\,\frac9k+9,\\ 27=&\,\frac9k,\\ k=&\,\boxed{\frac13}. \end{align*}

展开

承接 (a)，由 $k=\frac13$ 得 $a^2=27$ 。又因 $e=c/a$ ，对应正焦点 $(6,0)$ 的准线是 $x=a/e=a^2/c$ ；题目问的是“对应的”准线，所以不能写成正负两条。

展开

From part (a),

a^2=\frac9k=27.

Since $e=c/a$ , the directrix corresponding to the focus $(6,0)$ is

\begin{align*} x=&\,\frac ae\\ =&\,\frac{a^2}{c}\\ =&\,\frac{27}{6}. \end{align*}

Hence the required directrix is

\boxed{x=\frac92}.