3.

在本题中，你必须写出所有解题步骤。

完全依赖计算器技术求解是不可以的。

(i) 求

(ii) 证明

其中 $a$ 为待确定的整数。

先把二次式配成 $(2x+3)^2+4^2$，再套用 $\int\frac{1}{u^2+a^2}\,\mathrm{d}u=\frac1a\arctan\frac ua+C$。换元时要同时保留 $\mathrm{d}u=2\,\mathrm{d}x$ 带来的系数。

Completing the square,

Let $u=2x+3$, so $\mathrm{d}u=2\,\mathrm{d}x$. Then

Therefore,

先配方得到 $(x+2)^2-21$，再使用 $\int\frac{1}{\sqrt{u^2-a^2}}\,\mathrm{d}u$ 的对数形式。由于积分区间内 $x+2>\sqrt{21}$，根式及对数参数均为正；代入上下限后必须继续合并成单一对数。

Completing the square,

On $3\leqslant x\leqslant9$, $x+2>\sqrt{21}$. Hence

Therefore,

也可以使用双曲代换。令 $x+2=\sqrt{21}\cosh u$ 后，分母与 $\mathrm{d}x$ 中的 $\sqrt{21}\sinh u$ 会约去，积分化成 $\int\mathrm{d}u$；最后用反双曲余弦的对数定义化简。

Let

Since $x+2>\sqrt{21}$ throughout the interval, take $u>0$. Then

and

The limits become

and

Therefore,

Using

this becomes

Hence