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IAL 2025 Jan FP3 Q4

A Level / Edexcel / FP3

IAL 2025 Jan Paper · Question 4

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

M=(40204a2a203)M = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & a \\ 2 & a & \frac{20}{3} \end{pmatrix}

where aa is a constant.

Given that (123)\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} is an eigenvector of M,

(a) determine the corresponding eigenvalue for this eigenvector.

(b) Hence show that a=4a = 4

Determine

(c) the other two eigenvalues of M,

(d) a normalised eigenvector for each eigenvalue of M.

(e) Hence determine a matrix P and a diagonal matrix D such that

PTMP=DP^TMP = D
(2)
(2)
(3)
(5)
(2)
题目中文翻译

在本题中，你必须写出所有解题步骤。

完全依赖计算器技术求解是不可以的。

M=(40204a2a203)M = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & a \\ 2 & a & \frac{20}{3} \end{pmatrix}

其中 aa 为常数。

已知 (123)\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} 是矩阵 M 的一个特征向量，

(a) 求该特征向量对应的特征值。

(b) 从而证明 a=4a = 4

求

(c) M 的另外两个特征值，

(d) M 每个特征值对应的一个单位化特征向量。

(e) 从而求矩阵 P 和对角矩阵 D，使得

PTMP=DP^TMP = D

解答

(a)

解法一

思路

展开

若向量 v\mathbf v 是矩阵 MM 对应于特征值 λ\lambda 的特征向量，则 Mv=λvM\mathbf v=\lambda\mathbf v。矩阵乘积的第一分量不含未知数 aa，所以只用第一行就能立即求出 λ\lambda。

答题过程

展开

Let

v=(123).\mathbf v= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}.

The first component of MvM\mathbf v is

4(1)+0(2)+2(3)=10.4(1)+0(2)+2(3)=10.

Since Mv=λvM\mathbf v=\lambda\mathbf v and the first component of v\mathbf v is 11,

10=λ(1).10=\lambda(1).

Therefore, the corresponding eigenvalue is

λ=10.\boxed{\lambda=10}.

(b)

解法一

思路

展开

承接 (a)，现在必须满足 Mv=10vM\mathbf v=10\mathbf v。比较等式的第二分量即可得到只含 aa 的一次方程，从而自然证明题目要求的结果。

答题过程

展开

From part (a),

Mv=10v.M\mathbf v=10\mathbf v.

Comparing the second components gives

0(1)+4(2)+3a= 10(2),8+3a= 20,a= 4.\begin{align*} 0(1)+4(2)+3a=&\,10(2),\\ 8+3a=&\,20,\\ a=&\,\boxed{4}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

代入 a=4a=4 后建立特征方程 det⁡(M−λI)=0\det(M-\lambda I)=0。沿第一行展开行列式时，第二项为零；提取公因式 4−λ4-\lambda 后，剩余二次式可直接因式分解。已知的特征值 1010 也会作为其中一个根出现，可用于检查计算。

答题过程

展开

With a=4a=4,

M−λI=(4−λ0204−λ424203−λ).M-\lambda I= \begin{pmatrix} 4-\lambda&0&2\\ 0&4-\lambda&4\\ 2&4&\frac{20}{3}-\lambda \end{pmatrix}.

The characteristic equation is

0= det⁡(M−λI)= (4−λ)[(4−λ)(203−λ)−16] −4(4−λ)= (4−λ)[(4−λ)(203−λ)−20]= 13(4−λ)(3λ2−32λ+20)= 13(4−λ)(3λ−2)(λ−10).\begin{align*} 0=&\,\det(M-\lambda I)\\ =&\,(4-\lambda) \left[ (4-\lambda)\left(\frac{20}{3}-\lambda\right) -16 \right]\\ &\,\hspace{2pt}-4(4-\lambda)\\ =&\,(4-\lambda) \left[ (4-\lambda)\left(\frac{20}{3}-\lambda\right) -20 \right]\\ =&\,\frac13(4-\lambda) (3\lambda^2-32\lambda+20)\\ =&\,\frac13(4-\lambda) (3\lambda-2)(\lambda-10). \end{align*}

Thus the eigenvalues are

λ=10,λ=4,λ=23.\lambda=10, \qquad \lambda=4, \qquad \lambda=\frac23.

The other two eigenvalues are therefore

4 and 23.\boxed{4\ \text{and}\ \frac23}.

(d)

解法一

思路

展开

对每个特征值分别解 (M−λI)x=0(M-\lambda I)\mathbf x=\mathbf0。题目已经给出 λ=10\lambda=10 的特征向量；另外两个特征值需要由联立方程求出方向向量。最后把每个向量除以自身的模，得到单位化特征向量。

答题过程

展开

Let

x=(xyz).\mathbf x= \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}.

For λ=4\lambda=4,

(M−4I)x=0(M-4I)\mathbf x=\mathbf 0

gives

z=0and2x+4y=0.z=0 \quad\text{and}\quad 2x+4y=0.

Taking y=−1y=-1 gives the eigenvector

(2−10),\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 0 \end{pmatrix},

whose magnitude is 5\sqrt5. Hence a normalised eigenvector is

v4=15(2−10).\mathbf v_4= \frac1{\sqrt5} \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}.

For λ=23\lambda=\frac23, the first two equations from (M−23I)x=0(M-\frac23I)\mathbf x=\mathbf0 are

103x+2z= 0,103y+4z= 0.\begin{align*} \frac{10}{3}x+2z=&\,0,\\ \frac{10}{3}y+4z=&\,0. \end{align*}

Equivalently,

5x+3z=0and5y+6z=0.5x+3z=0 \quad\text{and}\quad 5y+6z=0.

Taking z=−5z=-5 gives the eigenvector

(36−5),\begin{pmatrix} 3\\ 6\\ -5 \end{pmatrix},

whose magnitude is 70\sqrt{70}. Thus

v2/3=170(36−5).\mathbf v_{2/3}= \frac1{\sqrt{70}} \begin{pmatrix} 3\\ 6\\ -5 \end{pmatrix}.

Finally, the given eigenvector for λ=10\lambda=10 has magnitude 14\sqrt{14}, so

v10=114(123).\mathbf v_{10}= \frac1{\sqrt{14}} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}.

Therefore, one normalised eigenvector for each eigenvalue is

λ=10:114(1,2,3)T,λ=4:15(2,−1,0)T,λ=23:170(3,6,−5)T.\boxed{ \begin{aligned} \lambda=10:&\quad \frac1{\sqrt{14}}(1,2,3)^{\mathsf T},\\ \lambda=4:&\quad \frac1{\sqrt5}(2,-1,0)^{\mathsf T},\\ \lambda=\frac23:&\quad \frac1{\sqrt{70}}(3,6,-5)^{\mathsf T}. \end{aligned}}

(e)

解法一

思路

展开

承接 (d)，矩阵 MM 是实对称矩阵，三个单位化特征向量彼此正交。把它们依次作为 PP 的列，并把相应特征值按同一顺序放在 DD 的对角线上，便有 PTMP=DP^{\mathsf T}MP=D。

答题过程

展开

Using the order 10,4,2310,4,\frac23 for the eigenvalues, take

P=(11425370214−156703140−570)P= \begin{pmatrix} \frac1{\sqrt{14}}&\frac2{\sqrt5}&\frac3{\sqrt{70}}\\ \frac2{\sqrt{14}}&-\frac1{\sqrt5}&\frac6{\sqrt{70}}\\ \frac3{\sqrt{14}}&0&-\frac5{\sqrt{70}} \end{pmatrix}

and

D=(10000400023).D= \begin{pmatrix} 10&0&0\\ 0&4&0\\ 0&0&\frac23 \end{pmatrix}.

The columns of PP are the corresponding orthonormal eigenvectors, so

PTMP=D.\boxed{P^{\mathsf T}MP=D}.