题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

M = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & a \\ 2 & a & \frac{20}{3} \end{pmatrix}

where $a$ is a constant.

Given that $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ is an eigenvector of M,

(a) determine the corresponding eigenvalue for this eigenvector.

(2)

(b) Hence show that $a = 4$

(2)

Determine

(3)

(d) a normalised eigenvector for each eigenvalue of M.

(5)

(e) Hence determine a matrix P and a diagonal matrix D such that

P^TMP = D

(2)

题目中文翻译

在本题中，你必须写出所有解题步骤。

完全依赖计算器技术求解是不可以的。

M = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & a \\ 2 & a & \frac{20}{3} \end{pmatrix}

其中 $a$ 为常数。

已知 $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ 是矩阵 M 的一个特征向量，

(a) 求该特征向量对应的特征值。

(2)

(b) 从而证明 $a = 4$

(2)

求

(3)

(d) M 每个特征值对应的一个单位化特征向量。

(5)

(e) 从而求矩阵 P 和对角矩阵 D，使得

P^TMP = D

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

若向量 $\mathbf v$ 是矩阵 $M$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量，则 $M\mathbf v=\lambda\mathbf v$ 。矩阵乘积的第一分量不含未知数 $a$ ，所以只用第一行就能立即求出 $\lambda$ 。

答题过程

展开

Let

\mathbf v= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}.

The first component of $M\mathbf v$ is

4(1)+0(2)+2(3)=10.

Since $M\mathbf v=\lambda\mathbf v$ and the first component of $\mathbf v$ is $1$ ,

10=\lambda(1).

Therefore, the corresponding eigenvalue is

\boxed{\lambda=10}.

(b)

解法一

思路

展开

承接 (a)，现在必须满足 $M\mathbf v=10\mathbf v$ 。比较等式的第二分量即可得到只含 $a$ 的一次方程，从而自然证明题目要求的结果。

答题过程

展开

From part (a),

M\mathbf v=10\mathbf v.

Comparing the second components gives

\begin{align*} 0(1)+4(2)+3a=&\,10(2),\\ 8+3a=&\,20,\\ a=&\,\boxed{4}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

代入 $a=4$ 后建立特征方程 $\det(M-\lambda I)=0$ 。沿第一行展开行列式时，第二项为零；提取公因式 $4-\lambda$ 后，剩余二次式可直接因式分解。已知的特征值 $10$ 也会作为其中一个根出现，可用于检查计算。

答题过程

展开

With $a=4$ ,

M-\lambda I= \begin{pmatrix} 4-\lambda&0&2\\ 0&4-\lambda&4\\ 2&4&\frac{20}{3}-\lambda \end{pmatrix}.

The characteristic equation is

\begin{align*} 0=&\,\det(M-\lambda I)\\ =&\,(4-\lambda) \big[ (4-\lambda)\big(\frac{20}{3}-\lambda\big) -16 \big]\\ &\,\hspace{2pt}-4(4-\lambda)\\ =&\,(4-\lambda) \big[ (4-\lambda)\big(\frac{20}{3}-\lambda\big) -20 \big]\\ =&\,\frac13(4-\lambda) (3\lambda^2-32\lambda+20)\\ =&\,\frac13(4-\lambda) (3\lambda-2)(\lambda-10). \end{align*}

Thus the eigenvalues are

\lambda=10, \qquad \lambda=4, \qquad \lambda=\frac23.

The other two eigenvalues are therefore

\boxed{4\ \text{and}\ \frac23}.

(d)

解法一

思路

展开

对每个特征值分别解 $(M-\lambda I)\mathbf x=\mathbf0$ 。题目已经给出 $\lambda=10$ 的特征向量；另外两个特征值需要由联立方程求出方向向量。最后把每个向量除以自身的模，得到单位化特征向量。

答题过程

展开

Let

\mathbf x= \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}.

For $\lambda=4$ ,

(M-4I)\mathbf x=\mathbf 0

gives

z=0 \quad\text{and}\quad 2x+4y=0.

Taking $y=-1$ gives the eigenvector

\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 0 \end{pmatrix},

whose magnitude is $\sqrt5$ . Hence a normalised eigenvector is

\mathbf v_4= \frac1{\sqrt5} \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}.

For $\lambda=\frac23$ , the first two equations from $(M-\frac23I)\mathbf x=\mathbf0$ are

\begin{align*} \frac{10}{3}x+2z=&\,0,\\ \frac{10}{3}y+4z=&\,0. \end{align*}

Equivalently,

5x+3z=0 \quad\text{and}\quad 5y+6z=0.

Taking $z=-5$ gives the eigenvector

\begin{pmatrix} 3\\ 6\\ -5 \end{pmatrix},

whose magnitude is $\sqrt{70}$ . Thus

\mathbf v_{2/3}= \frac1{\sqrt{70}} \begin{pmatrix} 3\\ 6\\ -5 \end{pmatrix}.

Finally, the given eigenvector for $\lambda=10$ has magnitude $\sqrt{14}$ , so

\mathbf v_{10}= \frac1{\sqrt{14}} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}.

Therefore, one normalised eigenvector for each eigenvalue is

\boxed{ \begin{aligned} \lambda=10:&\quad \frac1{\sqrt{14}}(1,2,3)^{\mathsf T},\\ \lambda=4:&\quad \frac1{\sqrt5}(2,-1,0)^{\mathsf T},\\ \lambda=\frac23:&\quad \frac1{\sqrt{70}}(3,6,-5)^{\mathsf T}. \end{aligned}}

(e)

解法一

思路

展开

承接 (d)，矩阵 $M$ 是实对称矩阵，三个单位化特征向量彼此正交。把它们依次作为 $P$ 的列，并把相应特征值按同一顺序放在 $D$ 的对角线上，便有 $P^{\mathsf T}MP=D$ 。

答题过程

展开

Using the order $10,4,\frac23$ for the eigenvalues, take

P= \begin{pmatrix} \frac1{\sqrt{14}}&\frac2{\sqrt5}&\frac3{\sqrt{70}}\\ \frac2{\sqrt{14}}&-\frac1{\sqrt5}&\frac6{\sqrt{70}}\\ \frac3{\sqrt{14}}&0&-\frac5{\sqrt{70}} \end{pmatrix}

and

D= \begin{pmatrix} 10&0&0\\ 0&4&0\\ 0&0&\frac23 \end{pmatrix}.

The columns of $P$ are the corresponding orthonormal eigenvectors, so

\boxed{P^{\mathsf T}MP=D}.

FP3 2025 Jan Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

(e)

解法一

思路

答题过程