CalcGospel 國際數學圖譜
返回

IAL 2025 Jan FP3 Q6

A Level / Edexcel / FP3

IAL 2025 Jan Paper · Question 6

题目

Problem

The plane Π\Pi has equation

r=(−152)+λ(207)+μ(3−23)\mathbf{r} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}

where λ\lambda and μ\mu are scalar parameters.

(a) Determine a vector perpendicular to Π\Pi

The line ll passes through the point A(1,7,3)A(1, 7, 3) and meets Π\Pi at the point B(−1,5,2)B(-1, 5, 2) The acute angle between Π\Pi and ll is α\alpha

(b) Determine the value of α\alpha to the nearest degree.

(c) Determine the exact shortest distance from A to Π\Pi

(2)
(4)
(4)
题目中文翻译

平面 Π\Pi 的方程为

r=(−152)+λ(207)+μ(3−23)\mathbf{r} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}

其中 λ\lambda 和 μ\mu 为标量参数。

(a) 求一个垂直于 Π\Pi 的向量。

直线 ll 经过点 A(1,7,3)A(1,7,3) 并与 Π\Pi 交于点 B(−1,5,2)B(-1,5,2)。 直线 ll 与平面 Π\Pi 的锐角为 α\alpha。

(b) 求 α\alpha，答案四舍五入到最接近的度数。

(c) 求 A 到 Π\Pi 的准确最短距离。

解答

(a)

解法一

思路

展开

平面的两个参数向量都平行于平面，因此它们的叉积同时垂直于这两个方向，也就是平面的一个法向量。

答题过程

展开

The direction vectors of the plane are

u=(207)andv=(3−23).\mathbf u= \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 7 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \mathbf v= \begin{pmatrix} 3\\ -2\\ 3 \end{pmatrix}.

Their cross product is

u×v= ∣ijk2073−23∣= 14i+15j−4k.\begin{align*} \mathbf u\times\mathbf v =&\, \begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ 2&0&7\\ 3&-2&3 \end{vmatrix}\\ =&\,14\mathbf i+15\mathbf j-4\mathbf k. \end{align*}

Therefore, one vector perpendicular to Π\Pi is

(1415−4).\boxed{ \begin{pmatrix} 14\\ 15\\ -4 \end{pmatrix}}.

解法二

思路

展开

官方评分资料也允许设一般法向量 (p,q,r)(p,q,r)，并分别与两个平面方向向量作点积。令两个点积都等于零，选择方便的比例值即可得到法向量。

答题过程

展开

Let a normal vector be

n=(pqr).\mathbf n= \begin{pmatrix} p\\ q\\ r \end{pmatrix}.

Since n\mathbf n is perpendicular to both direction vectors,

2p+7r= 0,3p−2q+3r= 0.\begin{align*} 2p+7r=&\,0,\\ 3p-2q+3r=&\,0. \end{align*}

Choose r=−4r=-4. The first equation gives p=14p=14, and the second gives

42−2q−12=0,42-2q-12=0,

so q=15q=15. Hence

n=(1415−4).\boxed{ \mathbf n= \begin{pmatrix} 14\\ 15\\ -4 \end{pmatrix}}.

(b)

解法一

思路

展开

直线方向向量可由 A−BA-B 得到。直线与平面的夹角 α\alpha 满足 sin⁡α=∣d⋅n∣∣d∣∣n∣\sin\alpha=\frac{|\mathbf d\cdot\mathbf n|}{|\mathbf d||\mathbf n|}；绝对值确保取锐角。

答题过程

展开

A direction vector of ll is

d=BA→=(221).\mathbf d= \overrightarrow{BA}= \begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}.

Also,

∣d∣= 3,∣n∣= 142+152+(−4)2= 437,d⋅n= 2(14)+2(15)+1(−4)= 54.\begin{align*} |\mathbf d|=&\,3,\\ |\mathbf n|=&\,\sqrt{14^2+15^2+(-4)^2}\\ =&\,\sqrt{437},\\ \mathbf d\mathbin{\boldsymbol\cdot}\mathbf n =&\,2(14)+2(15)+1(-4)\\ =&\,54. \end{align*}

For the acute angle between a line and a plane,

sin⁡α= ∣d⋅n∣∣d∣∣n∣= 543437= 18437.\begin{align*} \sin\alpha =&\,\frac{ |\mathbf d\mathbin{\boldsymbol\cdot}\mathbf n|} {|\mathbf d||\mathbf n|}\\ =&\,\frac{54}{3\sqrt{437}}\\ =&\,\frac{18}{\sqrt{437}}. \end{align*}

Thus

α=sin⁡−1(18437)=59.435…∘.\alpha=\sin^{-1}\left(\frac{18}{\sqrt{437}}\right) =59.435\ldots^\circ.

Therefore, to the nearest degree,

α=59∘.\boxed{\alpha=59^\circ}.

解法二

思路

展开

也可以先求直线与平面法向量的锐角 β\beta。它与所求线面角互余，因此先用点积求 cos⁡β\cos\beta，再计算 α=90∘−β\alpha=90^\circ-\beta。

答题过程

展开

Let β\beta be the acute angle between ll and the normal to Π\Pi. Then

cos⁡β= ∣d⋅n∣∣d∣∣n∣= 18437.\begin{align*} \cos\beta =&\,\frac{ |\mathbf d\mathbin{\boldsymbol\cdot}\mathbf n|} {|\mathbf d||\mathbf n|}\\ =&\,\frac{18}{\sqrt{437}}. \end{align*}

Hence

β= 30.564…∘,α= 90∘−β= 59.435…∘.\begin{align*} \beta=&\,30.564\ldots^\circ,\\ \alpha=&\,90^\circ-\beta\\ =&\,59.435\ldots^\circ. \end{align*}

Therefore,

α=59∘.\boxed{\alpha=59^\circ}.

(c)

解法一

思路

展开

先用 (a) 的法向量和已知平面上的点 BB 写出平面的笛卡尔方程，再套用点到平面的距离公式。这是官方评分资料的主路线。

答题过程

展开

Using the normal vector from part (a), write the plane as

14x+15y−4z=d.14x+15y-4z=d.

Since B=(−1,5,2)B=(-1,5,2) lies on Π\Pi,

d= 14(−1)+15(5)−4(2)= 53.\begin{align*} d=&\,14(-1)+15(5)-4(2)\\ =&\,53. \end{align*}

Thus the equation of Π\Pi is

14x+15y−4z=53.14x+15y-4z=53.

The perpendicular distance from A=(1,7,3)A=(1,7,3) to Π\Pi is

D= ∣14(1)+15(7)−4(3)−53∣142+152+(−4)2= 54437.\begin{align*} D =&\,\frac{|14(1)+15(7)-4(3)-53|} {\sqrt{14^2+15^2+(-4)^2}}\\ =&\,\boxed{\frac{54}{\sqrt{437}}}. \end{align*}

解法二

思路

展开

官方替代路线利用 (b) 的线面角。因为 BB 在平面上，ABAB 与其在平面上的投影构成直角三角形，所以点到平面的距离等于 ∣AB∣sin⁡α|AB|\sin\alpha。

答题过程

展开

From part (b),

sin⁡α=18437.\sin\alpha=\frac{18}{\sqrt{437}}.

Also,

∣AB∣= (1+1)2+(7−5)2+(3−2)2= 3.\begin{align*} |AB| =&\,\sqrt{(1+1)^2+(7-5)^2+(3-2)^2}\\ =&\,3. \end{align*}

Therefore, the perpendicular distance is

D= ∣AB∣sin⁡α= 3(18437)= 54437.\begin{align*} D =&\,|AB|\sin\alpha\\ =&\,3\left(\frac{18}{\sqrt{437}}\right)\\ =&\,\boxed{\frac{54}{\sqrt{437}}}. \end{align*}

解法三

思路

展开

另一条官方替代路线是把 BA→\overrightarrow{BA} 投影到单位法向量上。该投影长度正是从 AA 到平面的垂直距离。

答题过程

展开

The unit normal vector is

n^=1437(1415−4).\widehat{\mathbf n} =\frac1{\sqrt{437}} \begin{pmatrix} 14\\ 15\\ -4 \end{pmatrix}.

Since

BA→=(221),\overrightarrow{BA}= \begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 1 \end{pmatrix},

the perpendicular distance is

D= ∣BA→⋅n^∣= ∣2(14)+2(15)+1(−4)∣437= 54437.\begin{align*} D =&\,\left| \overrightarrow{BA} \mathbin{\boldsymbol\cdot}\widehat{\mathbf n} \right|\\ =&\,\frac{|2(14)+2(15)+1(-4)|} {\sqrt{437}}\\ =&\,\boxed{\frac{54}{\sqrt{437}}}. \end{align*}