(a) 使用 $\cosh x$ 关于指数的定义证明

(b) 由此求出使

成立的 $x$ 的精确值。

答案用最简自然对数形式表示。

按题意把两个双曲余弦都写成指数形式。乘开后，四个指数项自然配成 $e^{6x}+e^{-6x}$ 与 $e^{4x}+e^{-4x}$，再分别还原成双曲余弦。

Using

we have

as required.

“Hence” 要先用 (a) 把左边改写成 $2\cosh5x\cosh x$。由于实数范围内 $\cosh x>0$，可安全约去 $\cosh x$，再把 $\cosh5x=4$ 写成关于 $e^{5x}$ 的二次方程求解。

Using the result from part (a),

Since $\cosh x>0$ for all real $x$, division by $2\cosh x$ gives

Using the exponential definition,

Multiplying by $2e^{5x}$,

Let $u=e^{5x}$, where $u>0$. Then

Both roots are positive, so

Therefore,

Equivalently, since

the answers may be written as

官方评分资料也接受使用反双曲余弦。由 $\cosh5x=4$，先利用双曲余弦的偶函数性质写出两个实数分支，再用 $\operatorname{arcosh}u=\ln(u+\sqrt{u^2-1})$ 化成题目要求的自然对数形式。

From part (a),

Hence

Using

we obtain

Therefore,