题目

Problem

Determine

(i)

\begin{align*} \int \frac{1}{\sqrt{4x^2 + 8x + 9}}\,\mathrm{d}x \end{align*}

(3)

(ii)

\begin{align*} \int \operatorname{arcosh}(3x)\,\mathrm{d}x \end{align*}

(4)

题目中文翻译

求

（i）

\begin{align*} \int \frac{1}{\sqrt{4x^2 + 8x + 9}}\,\mathrm{d}x \end{align*}

(3)

（ii）

\begin{align*} \int \operatorname{arcosh}(3x)\,\mathrm{d}x \end{align*}

(4)

解答

(i)

解法一

思路

展开

先配方，把根式化成 $\sqrt{4(x+1)^2+5}$ 。提出常数 $2$ 后，积分便符合 $\int 1/\sqrt{u^2+a^2}\,\mathrm{d}u=\operatorname{arsinh}(u/a)+C$ 的标准形式。

答题过程

展开

Completing the square,

4x^2+8x+9=4(x+1)^2+5.

Therefore,

\begin{align*} \int\frac{1}{\sqrt{4x^2+8x+9}}\,\mathrm{d}x =&\,\frac12\int \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2+\frac54}}\,\mathrm{d}x\\ =&\,\boxed{ \frac12\operatorname{arsinh} \bigg(\frac{2x+2}{\sqrt5}\bigg)+C}. \end{align*}

(ii)

解法一

思路

展开

直接分部积分，令 $u=\operatorname{arcosh}(3x)$ 、 $\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$ 。余下积分可令 $w=9x^2-1$ ，得到一个平方根项。

答题过程

展开

Using integration by parts, let

u=\operatorname{arcosh}(3x)

and

\mathrm{d}v=\mathrm{d}x.

Then

\mathrm{d}u =\frac{3}{\sqrt{9x^2-1}}\,\mathrm{d}x

and $v=x$ . Hence

\begin{align*} \int\operatorname{arcosh}(3x)\,\mathrm{d}x =&\,x\operatorname{arcosh}(3x)\\ &\,-\int\frac{3x}{\sqrt{9x^2-1}}\,\mathrm{d}x \end{align*}

For the remaining integral, let $w=9x^2-1$ , so $\mathrm{d}w=18x\,\mathrm{d}x$ . Then

\begin{align*} \int\frac{3x}{\sqrt{9x^2-1}}\,\mathrm{d}x =&\,\frac16\int w^{-1/2}\,\mathrm{d}w\\[2mm] =&\,\frac13\sqrt w+C. \end{align*}

Hence

\begin{align*} \int\operatorname{arcosh}(3x)\,\mathrm{d}x =&\,\boxed{ x\operatorname{arcosh}(3x) -\frac13\sqrt{9x^2-1}+C}. \end{align*}

This is valid on the real differentiable domain $x>\frac13$ .

解法二

思路

展开

先令 $u=\operatorname{arcosh}(3x)$ ，于是 $x=\frac13\cosh u$ 。原积分变成 $\frac13\int u\sinh u\,\mathrm{d}u$ ，再做一次分部积分，最后换回 $x$ 。

答题过程

展开

Let

u=\operatorname{arcosh}(3x).

Then

x=\frac13\cosh u

and

\mathrm{d}x=\frac13\sinh u\,\mathrm{d}u.

Therefore,

\begin{align*} \int\operatorname{arcosh}(3x)\,\mathrm{d}x =&\,\frac13\int u\sinh u\,\mathrm{d}u\\ =&\,\frac13\big(u\cosh u-\sinh u\big)+C. \end{align*}

Since $\cosh u=3x$ and

\sinh u=\sqrt{\cosh^2u-1} =\sqrt{9x^2-1},

we obtain the antiderivative

\boxed{ x\operatorname{arcosh}(3x) -\frac13\sqrt{9x^2-1}+C}.

This is valid on the real differentiable domain $x>\frac13$ .

FP3 2025 June Q2

题目

解答

(i)

解法一

思路

答题过程

(ii)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程