(a) 证明

(b) 由此求出使 $\dfrac{dy}{dx}=0$ 时的 $y$ 的准确值，并将答案写成最简自然对数形式。

分别对两个反双曲正弦项求导。第二项要使用链式法则；又因 $x>0$，所以 $\sqrt{1+x^{-2}}=\sqrt{1+x^2}/x$，可直接合并成目标分式。

Differentiating with respect to $x$,

Since $x>0$,

Therefore,

as required.

“Hence” 要直接令 (a) 的导数为零。由于定义域内分母恒正，只需令分子为零得到 $x=1$；代回原式后，使用 $\operatorname{arsinh}u=\ln(u+\sqrt{u^2+1})$，再合并对数。

From part (a),

Since $x>0$, the denominator is positive. Hence

so $x=1$. Substituting into the original expression,

官方评分资料还接受由 $\sinh(y/2)=1$ 转成指数方程。令 $u=e^{y/2}>0$ 后得到二次方程，舍去负根，再把结果写成最简自然对数。

As in the first method, part (a) gives $x=1$, and hence

Therefore,

Using the exponential definition of $\sinh$,

Let $u=e^{y/2}$, where $u>0$. Multiplying by $2u$ gives

Thus

Since $u>0$, only $u=1+\sqrt2$ is valid. Hence