题目
Problem
6.
A=156k3−12−24
where k is a constant.
(a) Determine the value of k for which A is singular.
(3)
Given that A is non-singular,
(b) determine A−1, giving your answer in simplest form in terms of k.
(4)
题目中文翻译
A=156k3−12−24
其中 k 为常数。
(a) 求使 A 为奇异矩阵的 k 值。
(3)
已知 A 非奇异，
(b) 求 A−1，答案化为关于 k 的最简形式。
(4)
解答
(a)
解法一
思路
展开
矩阵奇异当且仅当行列式为零。沿第一行展开 detA，所得式子关于 k 是一次式，令其等于零即可。
答题过程
展开
Expanding the determinant along the first row,
detA===13−1−24−k56−24+2563−1(12−2)−k(20+12)+2(−5−18)−32k−36.
For A to be singular,
−32k−36=0.
Hence
k=−89.
(b)
解法一
思路
展开
用 A−1=(detA)−1adjA。先逐项求 minors，再加余因子符号得到 cofactor matrix，转置后除以 (a) 中的一般行列式；题设非奇异意味着 k=−9/8。
答题过程
展开
The matrix of minors is
104k+2−2k−632−8−12−23−1−6k3−5k.
Applying the cofactor signs gives
C=10−4k−2−2k−6−32−812−236k+13−5k.
Therefore,
adjA=CT=10−32−23−4k−2−86k+1−2k−6123−5k.
Since detA=−32k−36, for k=−89,
A−1=−32k+361×10−32−23−4k−2−86k+1−2k−6123−5k.
