题目

Problem

The hyperbola $H$ is defined by the equation

\frac{x^2}{48} - \frac{y^2}{b^2} = 1

where $b$ is a positive constant.

Given that $H$ has a focus at the point $(8, 0)$ , determine

(i) the value of $b$ ,

(ii) the exact value of the eccentricity of $H$ .

(5)

(Total for Question 1 is 5 marks)

题目中文翻译

双曲线 $H$ 的方程为

\frac{x^2}{48} - \frac{y^2}{b^2} = 1

其中 $b$ 为正实数。

已知 $H$ 在点 $(8, 0)$ 处有一个焦点，求

(i) $b$ 的值，

(ii) $H$ 的准确离心率。

解答

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标准双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 的焦距参数满足 $c^2=a^2+b^2$ 。题目给出 $a^2=48$ ，焦点 $(8,0)$ 给出 $c=8$ ；代入即可求正数 $b$ 。

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For the hyperbola

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,

the focal distance $c$ satisfies

c^2=a^2+b^2.

Here,

a^2=48\qquad\text{and}\qquad c=8.

Therefore,

\begin{align*} b^2=&\,c^2-a^2\\ =&\,8^2-48\\ =&\,16. \end{align*}

Since $b$ is positive,

\boxed{b=4}.

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双曲线的离心率满足 $c=ae$ 。利用焦距 $c=8$ 与 $a=\sqrt{48}$ ，求出 $e$ 后将根式化为题目要求的准确值；离心率必须取正值。

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Since $c=ae$ ,

\begin{align*} e=&\,\frac{c}{a}\\ =&\,\frac{8}{\sqrt{48}}\\ =&\,\frac{2}{\sqrt3}\\ =&\,\boxed{\frac{2\sqrt3}{3}}. \end{align*}