在本题中，你必须写出所有解题步骤。

不能完全依赖计算器技术。

其中 $k$ 为常数。

(a) 求 $A$ 的行列式，表示成 $k$ 的函数。

(b) 从而求 $A^{-1}$，表示成 $k$ 的函数。

已知

• $k = 1$

• 矩阵 $B$ 满足 $AB = A^T$

(c) 求矩阵 $B$。

第一行只有左上角元素非零，所以沿第一行展开行列式最简洁。余下的 $2\times2$ 行列式为 $2(4)-3(3)=-1$。

Expanding along the first row,

由 (a) 的 $\det A=-k$，用 $A^{-1}=(\det A)^{-1}\operatorname{adj}A$。先求 minors 矩阵，再加上余因子正负号并转置得到 adjugate；同时注明只有 $k\ne0$ 时逆矩阵存在。

The matrix of minors is

Applying the cofactor signs gives

Hence

Using $\det A=-k$, for $k\ne0$,

由 $AB=A^T$ 左乘 $A^{-1}$，得到 $B=A^{-1}A^T$。把 $k=1$ 代入 (b) 的逆矩阵，再与 $A^T$ 相乘即可。

When $k=1$,

and

Since $AB=A^T$,

For example, the entry in row 2, column 2 is

Therefore,

也可以直接设 $B$ 的九个元素。利用 $A$ 的第一行可立即得到 $B$ 的第一行；再把 $AB=A^T$ 按列比较，每一列只需解两个二元一次方程，便能求出其余六个元素。

Let

The first row of $AB=A^T$ gives

Comparing the remaining entries in the first column gives

Subtracting twice the second equation from three times the first gives

For the second column,

Applying the same elimination,

For the third column,

Similarly,

Hence