在本题中，你必须写出所有解题步骤。

不能完全依赖计算器技术。

其中 $k$ 为常数。

(a) 求 $A$ 的行列式，表示成 $k$ 的函数。

(b) 从而求 $A^{-1}$，表示成 $k$ 的函数。

已知

• $k = 1$

• 矩阵 $B$ 满足 $AB = A^T$

(c) 求矩阵 $B$。

第一行只有左上角元素非零，所以沿第一行展开行列式最简洁。余下的 $2\times2$ 行列式为 $2(4)-3(3)=-1$。

Expanding along the first row,

由 (a) 的 $\det A=-k$，用 $A^{-1}=(\det A)^{-1}\operatorname{adj}A$。先求 minors 矩阵，再加上余因子正负号并转置得到 adjugate；同时注明只有 $k\ne0$ 时逆矩阵存在。

The matrix of minors is

Applying the cofactor signs gives

Hence

Using $\det A=-k$, for $k\ne0$,

由 $AB=A^T$ 左乘 $A^{-1}$，得到 $B=A^{-1}A^T$。把 $k=1$ 代入 (b) 的逆矩阵，再与 $A^T$ 相乘即可。

When $k=1$,

and

Since $AB=A^T$,

Therefore,

官方评分资料也接受直接设 $B$ 的九个元素。利用 $A$ 的第一行可立即得到 $B$ 的第一行；再把 $AB=A^T$ 按列比较，每一列只需解两个二元一次方程，便能求出其余六个元素。

Let

The first row of $AB=A^T$ gives

Comparing the remaining entries in the first column gives

so

For the second column,

so

For the third column,

so

Hence