题目

Problem

(a) Using the appropriate definitions of hyperbolic functions in terms of exponentials, show that

\sinh x + \sech x = \frac{e^{4x} + 4e^{2x} - 1}{2e^{3x}+2e^x}

(4)

(b) Hence solve the equation

\sinh x + \sech x = \frac{1}{2}e^x

Give the answer in the form $a \ln b$ where $a$ is a rational number and $b$ is an integer.

(Solutions relying on calculator technology are not acceptable.)

(4)

(Total for Question 3 is 8 marks)

题目中文翻译

(a) 使用双曲函数关于指数的适当定义，证明

\sinh x + \sech x = \frac{e^{4x} + 4e^{2x} - 1}{2e^{3x}+2e^x}

(b) 由此解方程

\sinh x + \sech x = \frac{1}{2}e^x

答案写成 $a \ln b$ 的形式，其中 $a$ 为有理数， $b$ 为整数。

（不能依赖计算器技术求解。）

解答

(a)

解法一

思路

展开

先把 $\sinh x$ 与 $\operatorname{sech}x$ 写成指数形式，再通分并展开分子。目标式只含正指数，因此最后把分子、分母同乘 $e^{2x}$ ；必须在得到最终式前展示括号完全展开的中间步骤。

答题过程

展开

Using

\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}

and

\sech x=\frac{2}{e^x+e^{-x}},

Substituting these definitions and combining over a common denominator,

\begin{align*} \sinh x+\sech x =&\,\frac{(e^x-e^{-x})(e^x+e^{-x})+4} {2(e^x+e^{-x})}\\ =&\,\frac{e^{2x}-e^{-2x}+4} {2e^x+2e^{-x}}. \end{align*}

Multiplying the numerator and denominator by $e^{2x}$ gives

\begin{align*} \sinh x+\sech x =&\,\frac{e^{4x}-1+4e^{2x}} {2e^{3x}+2e^x}\\ =&\,\frac{e^{4x}+4e^{2x}-1} {2e^{3x}+2e^x}, \end{align*}

as required.

(b)

解法一

思路

展开

“Hence” 要直接使用 (a) 的结果代入方程。交叉相乘后 $e^{4x}$ 会消去，只剩关于 $e^{2x}$ 的一次方程；由于指数函数恒正，解出 $e^{2x}=1/3$ 后取对数即可得到唯一实数解。

答题过程

展开

Using the result from part (a),

\frac{e^{4x}+4e^{2x}-1}{2e^{3x}+2e^x} =\frac12e^x.

Since $e^x>0$ , the denominator is non-zero. Cross-multiplying,

\begin{align*} e^{4x}+4e^{2x}-1 =&\,\frac12e^x(2e^{3x}+2e^x)\\ =&\,e^{4x}+e^{2x}. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} 3e^{2x}=&\,1,\\ e^{2x}=&\,\frac13. \end{align*}

Taking natural logarithms,

\begin{align*} 2x=&\,\ln\bigg(\frac13\bigg)\\ =&\,-\ln3. \end{align*}

Hence

\boxed{x=-\frac12\ln3}.

IAL 2026 Jan FP3 Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程