题目

Problem

The points A, B and C have position vectors $\mathbf a$ , $\mathbf b$ and $\mathbf c$ respectively, relative to a fixed origin O, as shown in Figure 1, where

\begin{align*} \mathbf a =&\,2\mathbf i-\mathbf k\\[2mm] \mathbf b =&\,\mathbf i+2\mathbf j-2\mathbf k\\[2mm] \mathbf c =&\,3\mathbf i+\mathbf j+\mathbf k \end{align*}

Determine

(a) $\mathbf b \times\mathbf c$

(2)

(b) $\mathbf a \cdot (\mathbf b \times\mathbf c)$

(2)

(1)

(d) the shortest distance from A to the plane containing O, B and C, giving the answer as a simplified surd.

(3)

题目中文翻译

点 A、B、C 相对于固定原点 O 的位置向量分别为 $\mathbf a$ 、 $\mathbf b$ 和 $\mathbf c$ ，如图 1 所示，其中

\begin{align*} \mathbf a =&\,2\mathbf i-\mathbf k\\[2mm] \mathbf b =&\,\mathbf i+2\mathbf j-2\mathbf k\\[2mm] \mathbf c =&\,3\mathbf i+\mathbf j+\mathbf k \end{align*}

求

(a) $\mathbf b \times\mathbf c$

(2)

(b) $\mathbf a \cdot (\mathbf b \times\mathbf c)$

(2)

(1)

(d) 点 A 到包含 O、B、C 的平面的最短距离，答案写成最简根式。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

把两个向量写成分量形式，用行列式计算叉积。中间特别注意 $\mathbf j$ 分量前的负号。

答题过程

展开

Using a determinant,

\begin{align*} \mathbf b\times\mathbf c =&\, \begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ 1&2&-2\\ 3&1&1 \end{vmatrix}\\ =&\,\big(2(1)-(-2)(1)\big)\mathbf i -\big(1(1)-(-2)(3)\big)\mathbf j\\ &+\big(1(1)-2(3)\big)\mathbf k\\ =&\,\boxed{4\mathbf i-7\mathbf j-5\mathbf k}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

把 $\mathbf a=(2,0,-1)$ 与 (a) 的叉积作点积，即可求得标量三重积。

答题过程

展开

\begin{align*} \mathbf a\mathbin{\boldsymbol\cdot}(\mathbf b\times\mathbf c) =&\,(2,0,-1)\mathbin{\boldsymbol\cdot}(4,-7,-5)\\ =&\,2(4)+0(-7)+(-1)(-5)\\ =&\,\boxed{13}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

三个位置向量张成的平行六面体体积是标量三重积的绝对值，四面体体积则是它的 $\frac16$ 。

答题过程

展开

The volume of the tetrahedron is

\begin{align*} V =&\,\frac16\left|\mathbf a\mathbin{\boldsymbol\cdot} (\mathbf b\times\mathbf c)\right|\\ =&\,\frac16|13|\\ =&\,\boxed{\frac{13}{6}}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

$\mathbf b\times\mathbf c$ 是平面 $OBC$ 的法向量，而且平面经过原点，因此平面方程可直接写出。将点 $A(2,0,-1)$ 代入点到平面的距离公式，再化简根式。

答题过程

展开

Since $\mathbf b\times\mathbf c=(4,-7,-5)$ , the plane containing $O$ , $B$ and $C$ has equation

4x-7y-5z=0.

Therefore, the perpendicular distance from $A(2,0,-1)$ to the plane is

\begin{align*} d =&\,\frac{|4(2)-7(0)-5(-1)|} {\sqrt{4^2+(-7)^2+(-5)^2}}\\ =&\,\frac{13}{\sqrt{90}}\\ =&\,\boxed{\frac{13\sqrt{10}}{30}}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以用体积法。先由叉积求三角形 $OBC$ 的面积，再把 (c) 的四面体体积写成 $\frac13\times$ 底面积 $\times$ 高；这里的高正是所求最短距离。

答题过程

展开

The area of the triangular base $OBC$ is

\begin{align*} A_{OBC} =&\,\frac12|\mathbf b\times\mathbf c|\\ =&\,\frac12\sqrt{4^2+(-7)^2+(-5)^2}\\ =&\,\frac{3\sqrt{10}}{2}. \end{align*}

Let the required distance be $h$ . Using the volume from part (c),

\begin{align*} \frac13 A_{OBC}h=&\,\frac{13}{6},\\ \frac13\Big(\frac{3\sqrt{10}}{2}\Big)h=&\,\frac{13}{6}. \end{align*}

Hence

\begin{align*} h=&\,\frac{13}{3\sqrt{10}}\\ =&\,\boxed{\frac{13\sqrt{10}}{30}}. \end{align*}

FP3 2026 Jan Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程