题目

Problem

Figure 1

The points A, B and C have position vectors $a$ , $b$ and $c$ respectively, relative to a fixed origin O, as shown in Figure 1, where

a = 2\mathbf{i} - \mathbf{k} \qquad b = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k} \qquad c = 3\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}

Determine

(a) $b \times c$

(b) $a \cdot (b \times c)$

(d) the shortest distance from A to the plane containing O, B and C, giving the answer as a simplified surd.

(2)

(1)

(3)

题目中文翻译

图 1

点 A、B、C 相对于固定原点 O 的位置向量分别为 $a$ 、 $b$ 和 $c$ ，如图 1 所示，其中

a = 2\mathbf{i} - \mathbf{k} \qquad b = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k} \qquad c = 3\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}

求

(a) $b \times c$

(b) $a \cdot (b \times c)$

(d) 点 A 到包含 O、B、C 的平面的最短距离，答案写成最简根式。

解答

(a)

解法一

思路

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把两个向量写成分量形式，用行列式计算叉积。中间特别注意 $\mathbf j$ 分量前的负号。

答题过程

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Using a determinant,

\begin{align*} \mathbf b\times\mathbf c =&\, \begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ 1&2&-2\\ 3&1&1 \end{vmatrix}\\ =&\,\big(2(1)-(-2)(1)\big)\mathbf i -\big(1(1)-(-2)(3)\big)\mathbf j\\ &+\big(1(1)-2(3)\big)\mathbf k\\ =&\,\boxed{4\mathbf i-7\mathbf j-5\mathbf k}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

把 $\mathbf a=(2,0,-1)$ 与 (a) 的叉积作点积，即可求得标量三重积。

答题过程

展开

\begin{align*} \mathbf a\mathbin{\boldsymbol\cdot}(\mathbf b\times\mathbf c) =&\,(2,0,-1)\mathbin{\boldsymbol\cdot}(4,-7,-5)\\ =&\,2(4)+0(-7)+(-1)(-5)\\ =&\,\boxed{13}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

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三个位置向量张成的平行六面体体积是标量三重积的绝对值，四面体体积则是它的 $\frac16$ 。

答题过程

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The volume of the tetrahedron is

\begin{align*} V =&\,\frac16\left|\mathbf a\mathbin{\boldsymbol\cdot} (\mathbf b\times\mathbf c)\right|\\ =&\,\frac16|13|\\ =&\,\boxed{\frac{13}{6}}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

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$\mathbf b\times\mathbf c$ 是平面 $OBC$ 的法向量，而且平面经过原点，因此平面方程可直接写出。将点 $A(2,0,-1)$ 代入点到平面的距离公式，再化简根式。

答题过程

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Since $\mathbf b\times\mathbf c=(4,-7,-5)$ , the plane containing $O$ , $B$ and $C$ has equation

4x-7y-5z=0.

Therefore, the perpendicular distance from $A(2,0,-1)$ to the plane is

\begin{align*} d =&\,\frac{|4(2)-7(0)-5(-1)|} {\sqrt{4^2+(-7)^2+(-5)^2}}\\ =&\,\frac{13}{\sqrt{90}}\\ =&\,\boxed{\frac{13\sqrt{10}}{30}}. \end{align*}

解法二

思路

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官方评分资料也给出体积法。先由叉积求三角形 $OBC$ 的面积，再把 (c) 的四面体体积写成 $\frac13\times$ 底面积 $\times$ 高；这里的高正是所求最短距离。

答题过程

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The area of the triangular base $OBC$ is

\begin{align*} A_{OBC} =&\,\frac12|\mathbf b\times\mathbf c|\\ =&\,\frac12\sqrt{4^2+(-7)^2+(-5)^2}\\ =&\,\frac{3\sqrt{10}}{2}. \end{align*}

Let the required distance be $h$ . Using the volume from part (c),

\begin{align*} \frac13 A_{OBC}h=&\,\frac{13}{6},\\ \frac13\left(\frac{3\sqrt{10}}{2}\right)h=&\,\frac{13}{6}. \end{align*}

Hence

\begin{align*} h=&\,\frac{13}{3\sqrt{10}}\\ =&\,\boxed{\frac{13\sqrt{10}}{30}}. \end{align*}

IAL 2026 Jan FP3 Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程