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IAL 2026 Jan FP3 Q5

A Level / Edexcel / FP3

IAL 2026 Jan Paper · Question 5

题目

Problem

Figure 2

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

Figure 2 shows a sketch of the curve C defined by the parametric equations

x=cosh⁡2ty=4sinh⁡t0≤t≤32x = \cosh 2t \qquad y = 4\sinh t \qquad 0 \le t \le \frac{3}{2}

(a) Show that

(dxdt)2+(dydt)2=mcosh⁡nt\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = m\cosh^n t

where mm and nn are integers to be determined.

(b) Use algebraic integration to determine the exact length of C.

Give the answer in the form a+sinh⁡ba + \sinh b where aa and bb are integers to be found.

(c) Use algebraic integration to determine the exact area of the surface formed when C is rotated through 360° about the x-axis.

Give the answer in simplest form in terms of hyperbolic functions.

(5)
(3)
(4)
题目中文翻译

图 2

在本题中，你必须写出所有解题步骤。

不能依赖计算器技术求解。

图 2 展示了曲线 C 的草图，其参数方程为

x=cosh⁡2ty=4sinh⁡t0≤t≤32x = \cosh 2t \qquad y = 4\sinh t \qquad 0 \le t \le \frac{3}{2}

(a) 证明

(dxdt)2+(dydt)2=mcosh⁡nt\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = m\cosh^n t

其中 mm 和 nn 为待定整数。

(b) 用代数积分求曲线 C 的精确长度。

答案写成 a+sinh⁡ba + \sinh b 的形式，其中 aa 和 bb 为待求整数。

(c) 用代数积分求曲线 C 绕 x 轴旋转 360° 所形成曲面的精确面积。

答案用双曲函数表示，并化到最简形式。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先分别求参数方程关于 tt 的导数。平方相加后，用 sinh⁡2t=2sinh⁡tcosh⁡t\sinh 2t=2\sinh t\cosh t，再以 sinh⁡2t+1=cosh⁡2t\sinh^2t+1=\cosh^2t 合并成单项式，由此读出 m,nm,n。

答题过程

展开

Differentiating with respect to tt,

dxdt=2sinh⁡2t\frac{dx}{dt}=2\sinh 2t

and

dydt=4cosh⁡t.\frac{dy}{dt}=4\cosh t.

Hence

(dxdt)2+(dydt)2= 4sinh⁡22t+16cosh⁡2t= 16sinh⁡2tcosh⁡2t+16cosh⁡2t= 16cosh⁡2t(sinh⁡2t+1)= 16cosh⁡4t.\begin{align*} \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 +\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 =&\,4\sinh^2 2t+16\cosh^2t\\ =&\,16\sinh^2t\cosh^2t+16\cosh^2t\\ =&\,16\cosh^2t(\sinh^2t+1)\\ =&\,16\cosh^4t. \end{align*}

Therefore,

m=16,n=4.\boxed{m=16,\qquad n=4}.

(b)

解法一

思路

展开

参数曲线弧长为 ∫(dx/dt)2+(dy/dt)2 dt\int\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}\,dt。由 (a)，平方根在给定区间上是 4cosh⁡2t4\cosh^2t；再用二倍角公式 2cosh⁡2t=1+cosh⁡2t2\cosh^2t=1+\cosh2t 化成可直接积分的形式。

答题过程

展开

Using the result from part (a), the length of CC is

L= ∫03/2(dxdt)2+(dydt)2 dt= ∫03/24cosh⁡2t dt= ∫03/22(1+cosh⁡2t) dt= [2t+sinh⁡2t]03/2= 3+sinh⁡3.\begin{align*} L =&\,\int_0^{3/2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 +\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt\\ =&\,\int_0^{3/2}4\cosh^2t\,dt\\ =&\,\int_0^{3/2}2(1+\cosh2t)\,dt\\ =&\,\left[2t+\sinh2t\right]_0^{3/2}\\ =&\,\boxed{3+\sinh3}. \end{align*}

Thus a=3a=3 and b=3b=3.

(c)

解法一

思路

展开

曲线绕 xx 轴旋转的曲面面积为 2π∫y ds2\pi\int y\,ds。代入 y=4sinh⁡ty=4\sinh t 和 (a) 得到的 ds/dt=4cosh⁡2tds/dt=4\cosh^2t，被积函数含 sinh⁡tcosh⁡2t\sinh t\cosh^2t，令 u=cosh⁡tu=\cosh t 即可直接积分。

答题过程

展开

The surface area formed by rotation about the xx-axis is

S=2π∫03/2y(dxdt)2+(dydt)2 dt.S=2\pi\int_0^{3/2} y\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 +\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.

Therefore,

S= 2π∫03/2(4sinh⁡t)(4cosh⁡2t) dt= 32π∫03/2sinh⁡tcosh⁡2t dt= 32π3[cosh⁡3t]03/2= 32π3(cosh⁡332−1).\begin{align*} S =&\,2\pi\int_0^{3/2} (4\sinh t)(4\cosh^2t)\,dt\\ =&\,32\pi\int_0^{3/2} \sinh t\cosh^2t\,dt\\ =&\,\frac{32\pi}{3} \left[\cosh^3t\right]_0^{3/2}\\ =&\,\boxed{\frac{32\pi}{3} \left(\cosh^3\frac32-1\right)}. \end{align*}