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IAL 2026 Jan FP3 Q6

A Level / Edexcel / FP3

IAL 2026 Jan Paper · Question 6

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

The matrix MM is given by

M=(−222−3−7−311−3)M = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ -3 & -7 & -3 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}

(a) Show that (10−1)\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} is an eigenvector of MM, stating the corresponding eigenvalue.

(b) Show that the eigenvalue from part (a) is the only eigenvalue of M.

The transformation M:R3→R3M : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 is represented by the matrix MM.

(c) Determine a Cartesian equation for the image under M of the line with equation

x−11=y+12=z−3\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-3}
(3)
(4)
(4)
题目中文翻译

在本题中，你必须写出所有解题步骤。

不能依赖计算器技术求解。

矩阵 MM 为

M=(−222−3−7−311−3)M = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ -3 & -7 & -3 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}

(a) 证明 (10−1)\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} 是矩阵 MM 的一个特征向量，并指出对应特征值。

(b) 证明 (a) 中的特征值是 MM 的唯一特征值。

变换 M:R3→R3M : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 由矩阵 MM 表示。

(c) 求线

x−11=y+12=z−3\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-3}

在变换 MM 下的像的笛卡尔方程。

解答

(a)

解法一

思路

展开

把矩阵乘以给定向量。若所得向量是原向量的非零标量倍数，便证明它是特征向量，而这个倍数就是对应特征值。

答题过程

展开 M(10−1)= (−2(1)+2(0)+2(−1)−3(1)−7(0)−3(−1)1(1)+1(0)−3(−1))= −4(10−1).\begin{align*} M \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix} =&\, \begin{pmatrix} -2(1)+2(0)+2(-1)\\ -3(1)-7(0)-3(-1)\\ 1(1)+1(0)-3(-1) \end{pmatrix}\\ =&\,-4 \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}. \end{align*}

Therefore, the given vector is an eigenvector of MM, with corresponding eigenvalue

λ=−4.\boxed{\lambda=-4}.

(b)

解法一

思路

展开

求特征方程 det⁡(M−λI)=0\det(M-\lambda I)=0。沿第一行展开并完整化简后，特征多项式是 −(λ+4)3-(\lambda+4)^3，因此三个重根都等于 (a) 中的 −4-4，没有其他特征值。

答题过程

展开

The characteristic equation is

det⁡(M−λI)=0.\det(M-\lambda I)=0.

Expanding the determinant along the first row,

det⁡(M−λI)= ∣−2−λ22−3−7−λ−311−3−λ∣= (−2−λ)((λ+7)(λ+3)+3) −2(3(λ+3)+3) +2(−3+(λ+7))= (−2−λ)(λ2+10λ+24) −4λ−16= (−2−λ)(λ+4)(λ+6) −4(λ+4)= −(λ+4)3.\begin{align*} \det(M-\lambda I) =&\, \begin{vmatrix} -2-\lambda&2&2\\ -3&-7-\lambda&-3\\ 1&1&-3-\lambda \end{vmatrix}\\ =&\,(-2-\lambda) \big((\lambda+7)(\lambda+3)+3\big)\\ &\,-2\big(3(\lambda+3)+3\big)\\ &\,+2\big(-3+(\lambda+7)\big)\\ =&\,(-2-\lambda) (\lambda^2+10\lambda+24)\\ &\,-4\lambda-16\\ =&\,(-2-\lambda)(\lambda+4)(\lambda+6)\\ &\,-4(\lambda+4)\\ =&\,-(\lambda+4)^3. \end{align*}

Hence

−(λ+4)3=0,-(\lambda+4)^3=0,

so

λ=−4\boxed{\lambda=-4}

is the only eigenvalue of MM.

(c)

解法一

思路

展开

先把原直线参数化为点加方向向量，再让矩阵 MM 作用于直线上的一般点。所得像仍是关于参数 tt 的直线，最后由其基点和方向向量改写成对称式笛卡尔方程。

答题过程

展开

Let the common ratio in the equation of the original line be tt. Then

(xyz)=(1+t−1+2t−3t).\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+t\\ -1+2t\\ -3t \end{pmatrix}.

Applying the transformation,

M(1+t−1+2t−3t)= (−2(1+t)+2(−1+2t)+2(−3t)−3(1+t)−7(−1+2t)−3(−3t)(1+t)+(−1+2t)−3(−3t))= (−4−4t4−8t12t)= (−440)+t(−4−812).\begin{align*} M \begin{pmatrix} 1+t\\ -1+2t\\ -3t \end{pmatrix} =&\, \begin{pmatrix} -2(1+t)+2(-1+2t)+2(-3t)\\ -3(1+t)-7(-1+2t)-3(-3t)\\ (1+t)+(-1+2t)-3(-3t) \end{pmatrix}\\ =&\, \begin{pmatrix} -4-4t\\ 4-8t\\ 12t \end{pmatrix}\\ =&\, \begin{pmatrix} -4\\ 4\\ 0 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} -4\\ -8\\ 12 \end{pmatrix}. \end{align*}

Therefore, a Cartesian equation of the image line is

x+4−4=y−4−8=z12.\boxed{ \frac{x+4}{-4} =\frac{y-4}{-8} =\frac{z}{12}}.