题目

Problem

[In this question $\mathbf{i}$ and $\mathbf{j}$ are horizontal unit vectors due east and due north respectively and position vectors are given relative to a fixed origin $O$ .]

At time $t=0$ , a bird $A$ leaves its nest, that is located at the point with position vector $(20\mathbf{i}-17\mathbf{j})\,\mathrm{m}$ , and flies with constant velocity $(-6\mathbf{i}+7\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ . At the same time a second bird $B$ leaves its nest which is located at the point with position vector $(-8\mathbf{i}+9\mathbf{j})\,\mathrm{m}$ and flies with constant velocity $(p\mathbf{i}+2p\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ , where $p$ is a constant. At time $t=4\,\mathrm{s}$ , bird $B$ is south west of bird $A$ .

(a) Find the direction of motion of $A$ , giving your answer as a bearing to the nearest degree.

(3)

(b) Find the speed of $B$ .

(10)

题目中文翻译

[本题中， $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 分别为水平向正东和正北的单位向量，位置向量均相对于固定原点 $O$ 给出。]

在 $t=0$ 时，小鸟 $A$ 从位置向量为 $(20\mathbf{i}-17\mathbf{j})\,\mathrm{m}$ 的鸟巢出发，以恒定速度 $(-6\mathbf{i}+7\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 飞行。同时，另一只小鸟 $B$ 从位置向量为 $(-8\mathbf{i}+9\mathbf{j})\,\mathrm{m}$ 的鸟巢出发，以恒定速度 $(p\mathbf{i}+2p\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 飞行，其中 $p$ 为常数。在 $t=4\,\mathrm{s}$ 时， $B$ 位于 $A$ 的西南方向。

(a) 求 $A$ 的运动方向，以方位角表示，精确到最接近的整数度。

(3)

(b) 求 $B$ 的速率。

(10)

解答

(a)

解法一

思路

展开

速度的东西、南北分量决定方向，不需要用鸟巢的位置。 $A$ 向西北飞，先算北偏西的角，再转换成从正北顺时针量的方位角。

答题过程

展开

The velocity $-6\mathbf{i}+7\mathbf{j}$ is directed north-west. Let $\theta$ be the angle west of north. Then

\tan\theta=\frac67,\qquad \theta=40.601\ldots^\circ.

The bearing is therefore

360^\circ-40.601\ldots^\circ=319.398\ldots^\circ,

so the required bearing, to the nearest degree, is $\boxed{319^\circ}$ .

(b)

解法一

思路

展开

先分别求 $t=4$ 时的位置，再作“ $B$ 的位置减 $A$ 的位置”。西南方向要求两个分量相等且均为负；求出参数后还要检查方向，最后取速度向量的模。

答题过程

展开

Using $\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\mathbf{v}$ , at $t=4$ ,

\begin{align*} \mathbf{r}_A=&\,(20-24)\mathbf{i}+(-17+28)\mathbf{j}\\[4mm] =&\,-4\mathbf{i}+11\mathbf{j},\\[4mm] \mathbf{r}_B=&\,(-8+4p)\mathbf{i}+(9+8p)\mathbf{j}. \end{align*}

The displacement from $A$ to $B$ is

\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A=(-4+4p)\mathbf{i}+(-2+8p)\mathbf{j}.

For $B$ to be south-west of $A$ , these components must be equal and negative. Thus

-4+4p=-2+8p \quad\Longrightarrow\quad -2=4p \quad\Longrightarrow\quad p=-\frac12.

Substitution gives $\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A=-6\mathbf{i}-6\mathbf{j}$ , confirming the south-west direction.

Hence

\mathbf{v}_B=-\frac12\mathbf{i}-\mathbf{j}\quad\mathrm{m\,s^{-1}},

and its speed is

|\mathbf{v}_B|=\sqrt{\big(-\tfrac12\big)^2+(-1)^2} =\boxed{\frac{\sqrt5}{2}\,\mathrm{m\,s^{-1}}}.

M1 2019 Jan Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程