一名男孩看到一块伸出游泳池上方的木板 $PQ$，其 $Q$ 端放着一个箱子。木板质量为 $30\,\mathrm{kg}$，长 $5\,\mathrm{m}$，水平放置在两块砖上。将两块砖视为光滑支点，分别在杆上的 $P$ 点和 $R$ 点提供支持，其中 $PR=3\,\mathrm{m}$。如图 2 所示，$R$ 处的支点位于游泳池边缘。男孩的质量为 $40\,\mathrm{kg}$，箱子的质量为 $2.5\,\mathrm{kg}$。将木板视为均匀杆，将男孩和箱子视为质点。

男孩从 $P$ 点踏上木板，开始沿木板缓慢走向箱子。

(a) 求木板开始倾斜之前，男孩从 $P$ 点沿木板可以走过的距离。

(b) 说明在计算中如何使用了“将箱子视为质点”这一假设。

现将一块质量为 $M\,\mathrm{kg}$ 的石块放在木板的 $P$ 点。此时男孩能够沿木板缓慢走到 $Q$ 端的箱子处，而木板不发生倾斜。将石块视为质点。

(c) 求 $M$ 的最小可能值。

刚要绕 $R$ 倾斜时，$P$ 处支持力降为零。均匀木板的重力作用在中点，距 $R$ 左侧 $0.5$ 米；关于 $R$ 取矩即可消去另一支持力。

Let $x\,\mathrm{m}$ be the boy’s distance from $P$. At the limiting position, the plank is about to turn about $R$ and the reaction at $P$ is zero.

The plank’s centre is $2.5\,\mathrm{m}$ from $P$, hence $0.5\,\mathrm{m}$ to the left of $R$. Taking moments about $R$,

Cancelling $g$ and simplifying,

The greatest distance is $\boxed{3.25\,\mathrm{m}}$ from $P$.

另一种做法是先用竖直平衡求 $R$ 的支持力，再关于 $P$ 取矩。这能展示如何联立平衡方程消去未知支持力。

At impending tilt, the reaction at $P$ is zero. Let the reaction at $R$ be $N$. Vertical equilibrium gives

Taking moments about $P$,

Substituting for $N$ and cancelling $g$,

Hence $\boxed{x=3.25\,\mathrm{m}}$.

质点模型把箱子的全部质量集中在一个位置，因此计算重力矩时不用考虑箱子的尺寸。

The whole weight of the box is taken to act at the point $Q$.

男孩越靠近 $Q$，倾覆力矩越大；所以检查男孩在 $Q$ 的情况。最小石块质量对应临界平衡，仍有 $P$ 处支持力为零。

The greatest overturning moment occurs when the boy is at $Q$. For the minimum rock mass, the plank is just on the point of tilting about $R$.

Taking moments about $R$,

Therefore

The minimum rock mass is $\dfrac{70}{3}\,\mathrm{kg}$ (approximately $23.3\,\mathrm{kg}$). Any larger mass provides a greater stabilising moment at this end of the plank.

也可以利用整体竖直平衡和关于 $P$ 的力矩方程。石块放在 $P$，在此点取矩时它没有力矩，但会增加 $R$ 的支持力。

With the boy at $Q$, let the reaction at $R$ be $S$. At the limiting minimum mass, the reaction at $P$ is zero, so

Taking moments about $P$,

Substitute for $S$ and cancel $g$:

Hence $\boxed{M_{\min}=70/3}$, corresponding to a rock of mass $70/3\,\mathrm{kg}$.