一根横梁 $AB$ 的质量为 $100\,\mathrm{kg}$，长 $8\,\mathrm{m}$。两根竖直绳分别连接在梁上的 $C$、$D$ 两点，使梁水平平衡，其中 $AC=0.5\,\mathrm{m}$，$BD=0.5\,\mathrm{m}$。如图 2 所示，一名质量为 $M\,\mathrm{kg}$ 的体操运动员站在梁上的 $P$ 点，其中 $AP=2\,\mathrm{m}$。横梁保持水平且处于平衡状态。连接在 $D$ 点的绳中张力为 $637\,\mathrm{N}$。将运动员视为质点，将横梁视为均匀杆，将两根绳视为轻且不可伸长的细绳。

(a) 求

(i) $M$ 的值，

(ii) 连接在 $C$ 点的绳中的张力。

(b) 说明如何使用了“将横梁视为杆”这一假设。

现在，$P$ 点的运动员离开横梁，换成两名运动员。其中一名质量为 $60\,\mathrm{kg}$，站在 $P$ 点；另一名质量为 $48\,\mathrm{kg}$，站在 $X$ 点，其中 $AX=x$ 米。横梁仍保持水平且处于平衡状态，但此时两根绳中的张力相等。将两名运动员视为质点。

(c) 求 $x$ 的值。

关于 $C$ 取矩可消去该处张力。梁是均匀的，所以重力作用在距 $A$ 为 $4$ 米的中点；再用竖直平衡求另一张力。

(i) Let the tension at $C$ be $T$. The beam’s weight acts at its midpoint, $4\,\mathrm{m}$ from $A$. The distances from $C$ are $CP=1.5$, $CG=3.5$ and $CD=7$ metres.

Taking moments about $C$,

With $g=9.8$,

(ii) Vertical equilibrium gives

To 3 significant figures, the tension at $C$ is $\boxed{1.03\times10^3\,\mathrm{N}}$.

“杆”描述刚性，“均匀”才说明质量分布。这里要回答杆模型在平衡计算中的作用。

The beam is assumed to remain straight and not bend under the loads.

两张力现在相等，但不能沿用 (a) 的张力。先重新用竖直平衡求共同张力，再关于 $C$ 取矩确定第二名运动员的位置。

Let each new tension be $S$. Vertical equilibrium gives

Taking moments about $C$,

Substituting $S=104g$ and cancelling $g$,

Thus $X$ is $6.5\,\mathrm{m}$ from $A$, which lies on the beam.