一名运动员沿水平直跑道参加 $200\,\mathrm{m}$ 赛跑。

在她的运动模型中，忽略空气阻力。运动员在 $t=0$ 秒时从静止出发，以恒定加速度 $0.8\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 运动 $T$ 秒，速率达到 $V\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。随后，她保持这一速率，直至越过终点线。

从起跑到越过终点线的总时间为 $30\,\mathrm{s}$。

(a) 为该模型画出运动员从起跑瞬间到越过终点线瞬间的速率—时间图像草图。

(b) 写出用 $T$ 表示 $V$ 的表达式。

(c) 证明 $T^2-kT+500=0$，其中 $k$ 是一个待求的常数。

(d) 由此求 $T$ 的值，并仔细说明答案的理由。

(e) 结合你的速率—时间图像或用其他方法，指出除考虑空气阻力外，使模型更符合实际的两种改进方式。

先匀加速再匀速，图像是一条从原点出发的上升直线，接一段水平线。到终点时仍有速率 $V$，不能画出停车的竖直实线。

Label the horizontal axis $t$ (seconds) and the vertical axis $v$ ($\mathrm{m\,s^{-1}}$). Join

by straight segments. The first segment rises, and the second is horizontal. Label $T$, $30$ and $V$. The graph ends at $(30,V)$ without a solid vertical drop to the time axis.

第一段由静止开始，用末速度等于加速度乘时间。

Using $v=u+at$ for the acceleration stage,

整段路程等于图像下三角形与矩形的面积和。承接 (b) 代入 $V$，展开后整理成题目所给的二次方程。

The area under the speed-time graph is $200\,\mathrm{m}$, so

Substituting $V=0.8T$,

This is the required form, with $\boxed{k=60}$.

解二次方程得到两个代数根后，要用加速段包含在全程 $30$ 秒以内的条件排除不合理的根。

From (c),

Hence $T=10$ or $T=50$. Since the acceleration stage is followed by a constant-speed stage within a total time of $30\,\mathrm{s}$, we require $0<T<30$.

Therefore $T=50$ is inadmissible and $\boxed{T=10\,\mathrm{s}}$.

只给两项明确的模型改进，分别针对起跑段恒定加速度和后段恒定速率。不要重复题目已排除的空气阻力。

1. Allow the acceleration to vary during the initial stage, rather than being constant.
2. Allow the speed to fluctuate during the later stage, rather than remaining exactly constant.