两个力 $\mathbf{F}$ 和 $\mathbf{G}$ 作用在一个质点上。力 $\mathbf{F}$ 的大小为 $4\,\mathrm{N}$，方向的方位角为 $120^\circ$；力 $\mathbf{G}$ 的大小为 $6\,\mathrm{N}$，方向为正北。

已知 $\mathbf{P}=2\mathbf{F}+\mathbf{G}$，求

(i) $\mathbf{P}$ 的大小，

(ii) $\mathbf{P}$ 的方向，以方位角表示，精确到最接近的整数度。

注意参与合成的是 $2\mathbf F$，大小为 $8$ 牛顿。首尾相接的力三角形内角为 $180^\circ-120^\circ=60^\circ$，再用余弦定理。

The vectors $2\mathbf{F}$ and $\mathbf{G}$ have magnitudes $8\,\mathrm{N}$ and $6\,\mathrm{N}$, with angle $120^\circ$ between their directions.

Let $OA$ represent $2\mathbf{F}$ and $AB$ represent $\mathbf{G}$, so $OB$ represents $\mathbf{P}$. The interior angle $OAB$ is $60^\circ$. The cosine rule gives

Hence $\boxed{|\mathbf{P}|=\sqrt{52}\,\mathrm{N}\approx7.21\,\mathrm{N}}$.

方位角从正北量起，可先算东、北分量，再用勾股定理合成。

Take $\mathbf{i}$ east and $\mathbf{j}$ north. Then

Therefore

沿用力三角形，先求合力与 $2\mathbf F$ 的夹角。使用余弦定理能直接确定正确角度，避免正弦定理的补角歧义。

Using triangle $OAB$ from method 1 in (i), let $\phi=\angle AOB$, the angle between $2\mathbf{F}$ and $\mathbf{P}$. By the cosine rule,

Thus

The resultant lies between the two force directions. Its bearing is

so the required bearing is $\boxed{074^\circ}$.

由分量可知合力指向东北。用东分量除以北分量求从正北顺时针转过的角，便直接得到方位角。

From method 2 in (i), the east and north components are $4\sqrt3$ and $2$, both positive. If the bearing is $\beta$, then

Hence $\beta=73.897\ldots^\circ$, giving the bearing $\boxed{074^\circ}$ to the nearest degree.