题目

Problem

[In this question, the horizontal unit vectors $\mathbf{i}$ and $\mathbf{j}$ are directed due east and due north respectively and position vectors are given relative to a fixed origin $O$ .]

Two speedboats, $A$ and $B$ , are each moving with constant velocity. The velocity of $A$ is $20\,\mathrm{km\,h^{-1}}$ due west and the velocity of $B$ is $40\,\mathrm{km\,h^{-1}}$ on a bearing of $150^\circ$ . The boats are modelled as particles.

At noon, the position vector of $A$ is $60\mathbf{i}\,\mathrm{km}$ and $B$ is at the origin $O$ . At time $t$ hours after noon, the position vector of $A$ is $\mathbf{r}\,\mathrm{km}$ and the position vector of $B$ is $\mathbf{s}\,\mathrm{km}$ .

(a) Find the velocity of $B$ in the form $(p\mathbf{i}+q\mathbf{j})\,\mathrm{km\,h^{-1}}$ .

(3)

(b) Find expressions for $\mathbf{r}$ and $\mathbf{s}$ in terms of $t$ , $\mathbf{i}$ and $\mathbf{j}$ .

(3)

(8)

题目中文翻译

[本题中，水平单位向量 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 分别指向正东和正北，位置向量均相对于固定原点 $O$ 给出。]

两艘快艇 $A$ 和 $B$ 均以恒定速度航行。 $A$ 以 $20\,\mathrm{km\,h^{-1}}$ 的速率向正西航行； $B$ 以 $40\,\mathrm{km\,h^{-1}}$ 的速率，沿方位角为 $150^\circ$ 的方向航行。将两艘快艇视为质点。

正午时， $A$ 的位置向量为 $60\mathbf{i}\,\mathrm{km}$ ， $B$ 位于原点 $O$ 。正午后 $t$ 小时， $A$ 的位置向量为 $\mathbf{r}\,\mathrm{km}$ ， $B$ 的位置向量为 $\mathbf{s}\,\mathrm{km}$ 。

(a) 将 $B$ 的速度写成 $(p\mathbf{i}+q\mathbf{j})\,\mathrm{km\,h^{-1}}$ 的形式。

(3)

(b) 用 $t$ 、 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 表示 $\mathbf{r}$ 和 $\mathbf{s}$ 。

(3)

(8)

解答

(a)

解法一

思路

展开

方位角 $150^\circ$ 指向东南，故东分量为正、北分量为负。方位角从北量起，所以东分量用正弦，北分量用余弦。

答题过程

展开

Resolving the velocity of $B$ east and north,

\begin{align*} \mathbf{v}_B=&\,40\sin150^\circ\,\mathbf{i} +40\cos150^\circ\,\mathbf{j}\\[4mm] =&\,\boxed{20\mathbf{i}-20\sqrt3\,\mathbf{j}} \quad\mathrm{km\,h^{-1}}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

用初始位置加上速度乘时间。 $A$ 向西，所以它的东坐标随时间减小； $B$ 从原点出发。

答题过程

展开

For $A$ , the velocity is $-20\mathbf{i}\,\mathrm{km\,h^{-1}}$ , so

\boxed{\mathbf{r}=(60-20t)\mathbf{i}}.

For $B$ , using (a),

\boxed{\mathbf{s}=20t\mathbf{i}-20\sqrt3\,t\mathbf{j}}.

Both position vectors are in kilometres.

(c)

解法一

思路

展开

正午距离是 $60$ 公里。作相对位置向量并令其模为 $60$ ；二次方程包含原本的 $t=0$ ，所求是另一个正根。最后把小时转换成时刻。

答题过程

展开

At noon the separation is $60\,\mathrm{km}$ . From (b),

\mathbf{s}-\mathbf{r}=(40t-60)\mathbf{i}-20\sqrt3\,t\mathbf{j}.

Requiring the same distance gives

(40t-60)^2+(-20\sqrt3\,t)^2=60^2.

Expanding and simplifying,

\begin{align*} 1600t^2-4800t+3600+1200t^2=&\,3600,\\[4mm] 2800t^2-4800t=&\,0,\\[4mm] 400t(7t-12)=&\,0. \end{align*}

Thus $t=0$ or $t=12/7$ . The first root is noon itself, so the required later time is $12/7$ hours after noon.

\frac{12}{7}\times60=102.857\ldots\text{ minutes}.

This is $1$ hour $43$ minutes to the nearest minute, giving $\boxed{13{:}43}$ (1:43 pm).

M1 2019 Oct Q8

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程