两个质点 $P$ 和 $Q$ 的质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$，在光滑水平面上运动。它们沿同一直线相向运动，并发生正碰。碰撞前一瞬间，两个质点的速率均为 $u$。

碰撞使两个质点的运动方向均反转。

碰撞后瞬间，$Q$ 的速率为 $\frac{1}{3}u$。

(a) 用 $m_2$ 和 $u$ 表示碰撞过程中 $P$ 对 $Q$ 施加的冲量的大小。

(b) 用 $m_1$、$m_2$ 和 $u$ 表示碰撞后瞬间 $P$ 的速率。

(c) 由此证明 $m_2>\frac{3}{4}m_1$。

以 $P$ 原来的运动方向为正，$Q$ 的初速度为负，碰撞后变成正。对 $Q$ 用动量变化求冲量。

Take the original direction of $P$ as positive. The velocity of $Q$ changes from $-u$ to $u/3$, so the impulse on $Q$ is

It is positive in this direction, so the required magnitude is $4m_2u/3$.

碰撞后 $P$ 已反向，因此把它的末速度写成 $-v$，其中 $v$ 为正速率。用系统动量守恒解出 $v$。

Let the speed of $P$ immediately after impact be $v>0$, so its velocity in our chosen direction is $-v$. Conservation of momentum gives

Rearranging,

Hence the speed is $\boxed{\dfrac{u(4m_2-3m_1)}{3m_1}}$.

也可以承接 (a)，用等大反向的冲量作用于 $P$，直接解出其末速率。

The impulse on $P$ is $-4m_2u/3$. Since its velocity changes from $u$ to $-v$,

Thus

题目给出 $P$ 确实反向运动，所以 (b) 的速率严格大于零。先写完整速度不等式，再利用质量与初速均为正消去因子。

Since $P$ reverses its direction,

As $u>0$ and $m_1>0$, this implies