题目

Problem

A particle, $P$ , is projected vertically upwards with speed $U$ from a fixed point $O$ . At the instant when $P$ reaches its greatest height $H$ above $O$ , a second particle, $Q$ , is projected with speed $\frac{1}{2}U$ vertically upwards from $O$ .

(a) Find $H$ in terms of $U$ and $g$ .

(2)

(b) Find, in terms of $U$ and $g$ , the time between the instant when $Q$ is projected and the instant when the two particles collide.

(6)

(3)

题目中文翻译

一个质点 $P$ 从固定点 $O$ 以速率 $U$ 竖直向上抛出。当 $P$ 到达 $O$ 上方的最大高度 $H$ 的瞬间，将第二个质点 $Q$ 从 $O$ 点以速率 $\frac{1}{2}U$ 竖直向上抛出。

(a) 用 $U$ 和 $g$ 表示 $H$ 。

(2)

(b) 用 $U$ 和 $g$ 表示从 $Q$ 被抛出的瞬间到两个质点碰撞的瞬间所经过的时间。

(6)

(3)

解答

(a)

解法一

思路

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最高点的瞬时速度为零，用不含时间的匀加速公式求高度。

答题过程

展开

Take upwards as positive. At the greatest height, the velocity of $P$ is zero. Using $v^2=u^2+2as$ ,

0=U^2-2gH, \qquad \boxed{H=\frac{U^2}{2g}}.

(b)

解法一

思路

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把 $Q$ 抛出的时刻定为新的零时刻。此时 $P$ 从最高点由静止下落， $Q$ 从 $O$ 向上运动；两者相对 $O$ 的位置相等时碰撞。

答题过程

展开

Let $t$ be the time after $Q$ is projected, and measure heights upwards from $O$ . At this instant $P$ is at height $H$ with zero velocity, while $Q$ starts with velocity $U/2$ .

Their heights after time $t$ are

y_P=H-\frac12gt^2, \qquad y_Q=\frac12Ut-\frac12gt^2.

At collision, $y_P=y_Q$ , so

H=\frac12Ut.

Using (a),

\frac{U^2}{2g}=\frac12Ut, \qquad \boxed{t=\frac Ug}.

This is the time between the projection of $Q$ and the collision.

(c)

解法一

思路

展开

将 (b) 的时间代回高度方程。两个质点始终在经过 $O$ 的同一竖直线上，高度为零就意味着碰撞点正是 $O$ 。

答题过程

展开

Substitute $t=U/g$ into the height of $Q$ :

\begin{align*} y_Q=&\,\frac12U\frac Ug-\frac12g\big(\tfrac Ug\big)^2\\[4mm] =&\,\frac{U^2}{2g}-\frac{U^2}{2g}=0. \end{align*}

Both particles move on the same vertical line through $O$ , so they collide $\boxed{\text{at }O}$ .

M1 2020 Jan Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程