两个完全相同的小环 $A$ 和 $B$，质量均为 $m$，套在一根粗糙水平金属丝上。两环由一根轻且不可伸长的细绳连接。一个质量为 $3m$ 的质点 $C$ 连接在细绳中点。如图 2 所示，质点 $C$ 悬挂在金属丝下方并保持平衡，且 $\angle BAC=\beta$。

细绳的 $AC$ 段和 $BC$ 段中的张力均为 $T$。

(a) 考虑质点 $C$，用 $m$、$g$ 和 $\beta$ 表示 $T$。

(b) 用 $m$ 和 $g$ 表示金属丝与 $A$ 之间法向反作用力的大小。

每个小环与金属丝之间的摩擦系数均为 $\frac{4}{5}$。

两个小环 $A$、$B$ 恰好要沿金属丝相向滑动。

(c) 求 $\tan\beta$ 的值。

对 $C$ 来说，两个张力的水平分量相互抵消，竖直分量共同平衡 $3mg$。绳与水平线的夹角为给定的角。

For $C$, the two tensions each make angle $\beta$ with the horizontal. Resolving vertically,

Hence $\boxed{T=\dfrac{3mg}{2\sin\beta}}$.

三力平衡也可用拉密定理。两张力的夹角为 $180^\circ-2\beta$，其中一个张力与重力的夹角为 $90^\circ+\beta$。

Applying Lami’s theorem to the three forces on $C$,

Thus, since $0<\beta<90^\circ$,

对 $A$ 而言，张力斜向下，所以支持力需平衡环自身的重力及张力的竖直分量。

Let the normal reaction at $A$ be $R$. Vertical equilibrium of $A$ gives

From (a), $T\sin\beta=3mg/2$, so

也可以将两个环与悬挂质点作为整体。对称性使两个法向反作用力大小相等，绳张力作为内力抵消。

By symmetry, each ring has normal reaction $R$. For the complete system, vertical equilibrium gives

Hence the reaction at $A$ is $\boxed{R=5mg/2}$.

环将向内滑动，所以摩擦力向外且达到极限。用水平平衡求张力的水平分量，再与 (a) 的竖直分量相除求正切。

For $A$, the limiting friction is

Horizontal equilibrium gives

From (a), $T\sin\beta=3mg/2$. Dividing the two equations,