一辆汽车沿水平赛道以恒定速率 $40\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 做直线运动。在 $t=0$ 时，汽车经过一名静止的摩托车手。摩托车手立即出发追赶汽车。

摩托车手先以加速度 $4\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 加速 $15\,\mathrm{s}$，再以加速度 $1\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 继续加速 $T$ 秒，直至追上汽车。

(a) 在同一坐标系中，画出从 $t=0$ 到摩托车手追上汽车的瞬间，汽车和摩托车手运动的速率—时间图像草图。

在 $t=t_1$ 秒的瞬间，汽车与摩托车手的速率相同。

(b) 求 $t_1$ 的值。

(c) 证明 $T^2+kT-300=0$，其中 $k$ 是一个待求的常数。

汽车的速率不变，图像是水平线。摩托车的两段加速度都为正，但第二段斜率较小；结束时间为 $15+T$，不是 $T$。

Use time $t$ (seconds) horizontally and speed $v$ ($\mathrm{m\,s^{-1}}$) vertically.

For the car, draw the horizontal line $v=40$ from $t=0$ to $t=15+T$.

For the motorcyclist, join $(0,0)$ to $(15,60)$ by a straight line, then continue with a less steep rising line to $(15+T,60+T)$. The first segment crosses the car’s line before $t=15$. Label $40$, $15$ and $15+T$; both graphs end at the same time without dropping to zero speed.

摩托车在第一段加速中已达到汽车的速率，直接使用初速为零的速度公式，并检查所得时间小于 $15$ 秒。

During the first stage, the motorcyclist’s speed is $4t$. Hence

Since $10<15$, this occurs within the first acceleration stage.

追上时两者从同一起点走过相同路程。用图像面积分段求摩托车路程，汽车路程用恒速乘总时间，然后展开。

After the first $15$ seconds, the motorcyclist’s speed is $4(15)=60\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. After the further $T$ seconds it is $60+T$.

The distances travelled when they meet are therefore

Equating distances and expanding,

Thus the required form holds with $\boxed{k=40}$.