力 $\mathbf{F}$ 由 $\mathbf{F}=(10\mathbf{i}+\mathbf{j})\,\mathrm{N}$ 给出。

(a) 求 $\mathbf{F}$ 的大小的精确值。

(b) 求 $\mathbf{F}$ 的方向与向量 $(\mathbf{i}+\mathbf{j})$ 的方向之间的夹角，以度为单位。

力 $\mathbf{F}$ 与力 $(-15\mathbf{i}+a\mathbf{j})\,\mathrm{N}$ 的合力平行于向量 $(2\mathbf{i}-3\mathbf{j})$，但方向相反，其中 $a$ 为常数。

(c) 求 $a$ 的值。

正交单位向量的分量可直接用勾股定理求模。题目要求精确值，所以保留根式。

两个向量都在第一象限，可分别求与正 $\mathbf i$ 方向的夹角，再作差。

Let $\alpha$ be the angle between $\mathbf{F}$ and the positive $\mathbf{i}$ direction. Then

The vector $\mathbf{i}+\mathbf{j}$ makes angle $45^\circ$ with the positive $\mathbf{i}$ direction. Hence the required angle is

数量积把夹角与两个向量的分量直接联系起来，无需先求各自的方向角。

Let $\theta$ be the angle between the vectors. Their scalar product is

Using $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$,

Thus $\boxed{\theta=39.3^\circ}$ (3 s.f.).

将两个向量放在同一起点，两个终点之间的差向量为 $9\mathbf i$。三个边长已知，可用余弦定理求夹角。

The difference between the vectors is

The triangle with these two vectors as sides has third side of length $9$. By the cosine rule,

Therefore

giving $\boxed{\theta=39.3^\circ}$ (3 s.f.).

先求合力，再把它写成给定向量的倍数。倍数必须为负才符合方向相反，解出后要明确核对。

The resultant force is

Write $\mathbf{R}=\lambda(2\mathbf{i}-3\mathbf{j})$, where $\lambda<0$. Comparing components,

Hence $\boxed{a=13/2=6.5}$. Since $\lambda=-5/2<0$, the resultant has the required opposite direction.