一个质量为 $4\,\mathrm{kg}$ 的质点 $A$ 被保持静止在粗糙水平桌面上。质点 $A$ 连接在一根绕过滑轮 $P$ 的绳的一端，滑轮固定在桌子边缘。绳的另一端连接一个质量为 $3\,\mathrm{kg}$ 的质点 $B$，$B$ 自由悬挂在 $P$ 下方。

从 $A$ 到 $P$ 的绳段垂直于桌子边缘，且 $A$、$P$、$B$ 均位于同一竖直平面内。

将绳视为轻且不可伸长的绳，将滑轮视为光滑轻质小滑轮。

系统从静止释放，绳保持绷紧。释放瞬间，$A$ 距桌子边缘 $2\,\mathrm{m}$，$B$ 距水平地板 $1.4\,\mathrm{m}$，如图 3 所示。

$B$ 做匀加速下降运动 $2$ 秒后撞击地板，且不反弹。

(a) 证明：$B$ 撞击地板之前，$A$ 的加速度大小为 $0.7\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

(b) 指出在回答 (a) 时使用了哪一项建模假设。

(c) 求绳对滑轮施加的合力的大小。

$A$ 与桌面之间的摩擦系数为 $\mu$。

(d) 求 $\mu$ 的值。

(e) 通过计算判断 $A$ 是否会到达滑轮。

先由 $B$ 的下落位移与时间求加速度。绳绷紧且不可伸长，使 $A$ 的加速度大小与 $B$ 相同。

For $B$, starting from rest and moving $1.4\,\mathrm{m}$ downwards in $2\,\mathrm{s}$,

The taut inextensible string gives $A$ the same acceleration magnitude, so $\boxed{a_A=0.7\,\mathrm{m\,s^{-2}}}$ towards the pulley.

这里要指出用来把 $B$ 的运动联系到 $A$ 的假设，不要混入张力相等所需的其他假设。

The string is inextensible.

先用 $B$ 的运动方程求张力。绳在滑轮处的两段互相垂直，因此绳对滑轮的两个张力应按勾股定理合成。

Before $B$ hits the floor, taking downwards as positive for $B$,

Thus

The two forces exerted on the pulley by the string are perpendicular and each has magnitude $T$. Hence

对桌面上的 $A$，竖直方向无加速度，所以支持力等于重力。水平方向是张力减摩擦力等于质量乘加速度。

For $A$, the normal reaction is $R=4g$. Since it is sliding, the friction is

Taking motion towards the pulley as positive,

Using $T=27.3$ from (c),

落地后绳变松，$A$ 不再受原来的张力，只受摩擦力而减速。先求落地瞬间的速率，再求后续停止距离，和剩余的 $0.6$ 米比较。

When $B$ hits the floor, $A$ has speed

and has moved $1.4\,\mathrm{m}$ towards the pulley. Its remaining distance to the pulley is $2-1.4=0.6\,\mathrm{m}$.

After impact the string becomes slack. The only horizontal force on $A$ is friction, so its new acceleration towards the pulley is

Let the further stopping distance be $s$. Then

The total distance travelled is

Therefore $\boxed{A\text{ does not reach the pulley}}$.

也可以反证：假设 $A$ 能走完剩余距离，用新的减速度求到滑轮处的速度平方。若得到负值，说明它早已停下。

At the instant $B$ hits the floor, $A$ has speed $1.4\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ and is $0.6\,\mathrm{m}$ from the pulley. As in method 1, after this instant its acceleration is $a'=-6.125\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

If $A$ could reach the pulley without first stopping, its speed $w$ there would satisfy

Since the square of a real speed cannot be negative, $A$ stops before travelling the remaining $0.6\,\mathrm{m}$. Thus $\boxed{A\text{ does not reach the pulley}}$.