一个小球从水平地面上方 $19.6\,\mathrm{m}$ 处，以速率 $14.7\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 竖直向上抛出。将小球视为仅在重力作用下运动的质点。

求

(a) 从小球被抛出到首次撞击地面的总时间，

(b) 小球首次撞击地面前一瞬间的速率，

(c) 从小球被抛出到首次撞击地面的总路程。

(d) 画出小球从被抛出到首次撞击地面的运动过程的速度—时间图像草图。

写出图像起点和终点的坐标。

向上为正，落地时相对抛出点的位移为 $-19.6$ 米。用位移公式建立二次方程，并舍去负时间。

Take upwards as positive. With $u=14.7$, $a=-9.8$ and $s=-19.6$,

Dividing by $4.9$ and rearranging,

The roots are $t=4$ and $t=-1$. Only the positive time applies after projection, so the total time is $\boxed{4.0\,\mathrm{s}}$.

也可以把运动分成上升到最高点及从最高点下落两段。下落距离必须包含原来离地面的高度。

The time to the highest point is found from $v=u+at$:

The height gained is

The highest point is $19.6+11.025=30.625\,\mathrm{m}$ above the ground. Falling from rest through this height,

Thus the total time is $1.5+2.5=\boxed{4.0\,\mathrm{s}}$.

速度有方向，速率只有大小。代入 (a) 的总时间得到落地速度，再取绝对值。

Using the upward positive direction and the time from (a),

Hence the speed immediately before impact is $\boxed{24.5\,\mathrm{m\,s^{-1}}}$.

不使用飞行时间也能求速率：用末速度平方、初速度平方与位移的关系。

Using $v^2=u^2+2as$,

Therefore the speed is $|v|=\sqrt{600.25}=\boxed{24.5\,\mathrm{m\,s^{-1}}}$, with the velocity directed downwards.

路程不等于位移大小。小球先上升一段，再下落相同的一段并继续落到地面，所以增加的高度要计两次。

At the highest point the velocity is zero. If the upward distance is $h$,

The downward distance is $h+19.6$. Hence the total distance is

Thus the required distance is $\boxed{41.7\,\mathrm{m}}$ (3 s.f.).

重力加速度恒定，所以速度图像是一条斜率为负的直线。它会越过时间轴进入负速度，不能把下降阶段画成正速率。

Take upwards as positive. Label the horizontal axis $t$ (seconds) and the vertical axis $v$ ($\mathrm{m\,s^{-1}}$). Draw the straight line

Its start point is $\boxed{(0,14.7)}$ and its end point is $\boxed{(4,-24.5)}$. It crosses the time axis at $t=1.5$. Do not add a solid vertical line at $t=4$.