题目

Problem

A particle of mass $10\,\mathrm{kg}$ is placed on a fixed rough inclined plane. The plane is inclined to the horizontal at an angle $\alpha$ , where $\tan\alpha=\frac{3}{4}$ . The particle is held in equilibrium by a force of magnitude $P$ newtons, which acts up the plane, as shown in Figure 1. The line of action of the force lies in a vertical plane that contains a line of greatest slope of the plane.

The coefficient of friction between the particle and the plane is $\frac{1}{2}$ .

(a) Find the normal reaction between the particle and the plane.

(2)

(b) Find the greatest possible value of $P$ .

(4)

(2)

题目中文翻译

一个质量为 $10\,\mathrm{kg}$ 的质点放在固定粗糙斜面上。斜面与水平面成 $\alpha$ 角，其中 $\tan\alpha=\frac{3}{4}$ 。如图 1 所示，一个沿斜面向上、大小为 $P$ 牛顿的力使质点保持平衡。该力的作用线位于包含斜面一条最大坡度线的竖直平面内。

质点与斜面之间的摩擦系数为 $\frac{1}{2}$ 。

(a) 求质点与斜面之间的法向反作用力。

(2)

(b) 求 $P$ 的最大可能值。

(4)

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

外力 $P$ 平行斜面，没有垂直于斜面的分量。法向反作用力只需平衡重力的垂直分量。

答题过程

展开

Since $\tan\alpha=3/4$ and $\alpha$ is acute,

\sin\alpha=\frac35,\qquad \cos\alpha=\frac45.

Resolving perpendicular to the plane,

R=10g\cos\alpha=10(9.8)\frac45 =\boxed{78.4\,\mathrm{N}}.

(b)

解法一

思路

展开

当 $P$ 最大时，质点恰好要向上滑动，摩擦力沿斜面向下，且达到极限值。

答题过程

展开

For the greatest $P$ , friction acts down the plane at its limiting value,

F=\mu R=\frac12(78.4)=39.2\,\mathrm{N}.

Resolving parallel to the plane,

P_{\max}=10g\sin\alpha+F =10(9.8)\frac35+39.2 =\boxed{98.0\,\mathrm{N}}.

(c)

解法一

思路

展开

当 $P$ 最小时，质点恰好要向下滑动，摩擦力沿斜面向上，帮助 $P$ 平衡重力分量。

答题过程

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At the minimum force, limiting friction acts up the plane. Thus

P_{\min}+39.2=10g\sin\alpha=58.8.

Hence $\boxed{P_{\min}=19.6\,\mathrm{N}}$ .

M1 2020 Oct Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程