一根非均匀横梁 $AB$ 长 $8\,\mathrm{m}$，质量为 $M\,\mathrm{kg}$。

横梁的质心距 $A$ 点 $d$ 米。

两根竖直轻绳使横梁保持水平平衡。如图 2 所示，一根绳连接在 $C$ 点，其中 $AC=2.5\,\mathrm{m}$；另一根连接在 $D$ 点，其中 $DB=2\,\mathrm{m}$。

一名质量为 $64\,\mathrm{kg}$ 的体操运动员站在梁上的 $X$ 点，其中 $AX=1.875\,\mathrm{m}$。横梁仍保持水平平衡，但此时恰好要绕 $C$ 点倾斜。

随后，该运动员离开横梁。

第二名质量为 $48\,\mathrm{kg}$ 的运动员站在梁上的 $Y$ 点，其中 $YB=0.5\,\mathrm{m}$。横梁仍保持水平平衡，但此时恰好要绕 $D$ 点倾斜。

将横梁视为非均匀杆，将运动员视为质点。

求 $M$ 的值。

每次临界倾覆时，远离转轴的那根绳张力降为零。分别关于临界支点取矩，得到含同一个质心位置的两式；相加后可消去质心位置。

The coordinates of the supports measured from $A$ are $2.5\,\mathrm{m}$ at $C$ and $6\,\mathrm{m}$ at $D$.

With the $64\,\mathrm{kg}$ gymnast at $X$, the beam is on the point of tilting about $C$, so the tension at $D$ is zero. Taking moments about $C$,

hence

With the $48\,\mathrm{kg}$ gymnast at $Y$, the beam is on the point of tilting about $D$, so the tension at $C$ is zero. Since $AY=7.5\,\mathrm{m}$, taking moments about $D$ gives

so

Adding (1) and (2),

Therefore $\boxed{M=32}$. The beam has mass $32\,\mathrm{kg}$. Substitution into (1) gives $d=3.75\,\mathrm{m}$, between $C$ and $D$ as required by both limiting positions.