题目

Problem

A small stone is projected vertically upwards with speed $20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ from a point $O$ which is $5\,\mathrm{m}$ above horizontal ground. The stone is modelled as a particle moving freely under gravity.

Find

(a) the speed of the stone at the instant when it is $2\,\mathrm{m}$ above the ground,

(2)

(b) the total time between the instant when the stone is projected from $O$ and the instant when it first strikes the ground.

(4)

题目中文翻译

一颗小石子从水平地面上方 $5\,\mathrm{m}$ 的 $O$ 点，以速率 $20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 竖直向上抛出。将石子视为仅在重力作用下运动的质点。

求

(a) 石子位于地面上方 $2\,\mathrm{m}$ 时的速率，

(2)

(b) 从石子在 $O$ 点被抛出的瞬间，到首次撞击地面的瞬间所经过的总时间。

(4)

解答

(a)

解法一

思路

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石子位于地面上方 $2$ 米时，比抛出点低 $3$ 米。向上为正时位移为负，用速度平方公式直接求速率。

答题过程

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Take upwards as positive. The displacement from $O$ is $s=2-5=-3\,\mathrm{m}$ . Using $v^2=u^2+2as$ ,

v^2=20^2+2(-9.8)(-3)=458.8.

The required speed is

|v|=\sqrt{458.8}=\boxed{21.4\,\mathrm{m\,s^{-1}}}\quad\text{(3 s.f.)}.

(b)

解法一

思路

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落地时相对抛出点的位移是 $-5$ 米。解二次方程后，只保留投出之后的正时间。

答题过程

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At the ground, $s=-5$ . Thus

-5=20t-4.9t^2, \qquad 4.9t^2-20t-5=0.

The quadratic formula gives

t=\frac{20\pm\sqrt{20^2+4(4.9)(5)}}{9.8} =\frac{20\pm\sqrt{498}}{9.8}.

The root with the minus sign is negative, so the required total time is

t=\frac{20+\sqrt{498}}{9.8} =\boxed{4.32\,\mathrm{s}}\quad\text{(3 s.f.)}.

解法二

思路

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也可以先算上升至最高点的时间和高度，再算从最高点落到地面的时间，最后相加。

答题过程

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At the highest point, $v=0$ , so

t_1=\frac{20}{9.8}=\frac{100}{49}\,\mathrm{s}, \qquad h=\frac{20^2}{2(9.8)}=\frac{1000}{49}\,\mathrm{m}.

The fall from the highest point to the ground is through $h+5$ metres. Starting from rest there,

h+5=\frac12gt_2^2, \qquad t_2=\sqrt{\frac{2(1000/49+5)}{9.8}}.

Thus

t_1+t_2=2.040816\ldots+2.277134\ldots =\boxed{4.32\,\mathrm{s}}\quad\text{(3 s.f.)}.

M1 2021 Jan Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程