一架直升机在水平地面上方的 $H$ 点静止悬停。一名跳伞者离开直升机，立即从静止开始，仅在重力作用下竖直下落 $2.5\,\mathrm{s}$。随后降落伞打开，使他立即以恒定减速度 $3.9\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 减速 $T$ 秒（$T<6$），直至速率减小到 $V\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。之后他以这一恒定速率 $V\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 运动，直至着地。减速过程中，他下落的距离为 $73.75\,\mathrm{m}$。从离开 $H$ 点的瞬间到着地的瞬间，总时间为 $20\,\mathrm{s}$。

将跳伞者视为质点。

(a) 求降落伞打开瞬间跳伞者的速率。

(b) 画出从离开 $H$ 点到着地的运动过程的速率—时间图像草图。

(c) 求 $T$ 的值。

(d) 求 $H$ 点离地面的高度，精确到最接近的米。

自由下落从静止开始，速率等于重力加速度乘下落时间。

三段依次是匀加速、匀减速、匀速，对应上升直线、下降直线、水平线。下降段斜率的绝对值小于第一段，结束时仍在下落。

Label the horizontal axis $t$ (seconds) and the vertical axis speed ($\mathrm{m\,s^{-1}}$). Join the points

by straight line segments. The gradients are $9.8$, $-3.9$ and $0$, respectively. Label $2.5$, $2.5+T$, $20$, $24.5$ and $V$; do not add a vertical drop at $t=20$.

只对减速阶段列位移公式。解二次方程后，必须用题目给出的 $T<6$ 排除另一个根。

During deceleration, take downwards as positive. Using $s=ut+\tfrac12at^2$,

Multiplying by $20$ and rearranging,

Thus $T=5$ or $T=295/39=7.564\ldots$. The latter violates $T<6$, so $\boxed{T=5\,\mathrm{s}}$.

也可以先用不含时间的公式求减速后的速率，再用速度公式求时间。下落没有反向，因此取正速率。

For the deceleration stage,

Since the parachutist continues to fall, $V=5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. Therefore

which satisfies $T<6$.

高度等于速率图下三段面积和。中间路程已知，最后的匀速时间是总时间减去前两段时间。

Using (c), the final speed is $V=24.5-3.9(5)=5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ and the constant-speed stage lasts

The total height is the area under the speed-time graph:

Hence the height of $H$ is $\boxed{167\,\mathrm{m}}$ to the nearest metre.