题目

Problem

A particle $P$ has mass $3m$ and a particle $Q$ has mass $5m$ . The particles are moving towards each other in opposite directions along the same straight line on a smooth horizontal surface. The particles collide directly.

Immediately before the collision the speed of $P$ is $ku$ , where $k$ is a constant, and the speed of $Q$ is $2u$ .

Immediately after the collision the speed of $P$ is $u$ and the speed of $Q$ is $3u$ .

The direction of motion of $Q$ is reversed by the collision.

(a) Find, in terms of $m$ and $u$ , the magnitude of the impulse exerted on $Q$ by $P$ in the collision.

(2)

(b) Find the two possible values of $k$ .

(5)

题目中文翻译

质点 $P$ 的质量为 $3m$ ，质点 $Q$ 的质量为 $5m$ 。它们在光滑水平面上沿同一直线相向运动，并发生正碰。

碰撞前一瞬间， $P$ 的速率为 $ku$ ，其中 $k$ 为常数； $Q$ 的速率为 $2u$ 。

碰撞后瞬间， $P$ 的速率为 $u$ ， $Q$ 的速率为 $3u$ 。

碰撞使 $Q$ 的运动方向反转。

(a) 用 $m$ 和 $u$ 表示碰撞过程中 $P$ 对 $Q$ 施加的冲量的大小。

(2)

(b) 求 $k$ 的两个可能值。

(5)

解答

(a)

解法一

思路

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先统一正方向。 $Q$ 碰后反向，所以速度变化的大小是两段速率之和，冲量等于动量的变化。

答题过程

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Take the initial direction of motion of $P$ as positive. The velocity of $Q$ changes from $-2u$ to $3u$ .

The impulse on $Q$ is

I_Q=5m\bigl(3u-(-2u)\bigr)=25mu.

Hence the magnitude of the impulse is $\boxed{25mu}$ .

(b)

解法一

思路

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题目只给出 $P$ 碰后的速率，没有确定其方向。分别讨论 $P$ 继续向前和反向两种情况，并对整个系统用动量守恒。

答题过程

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There is no external horizontal impulse, so the total momentum is conserved.

If $P$ continues in its original direction, its final velocity is $u$ . Thus

\begin{align*} 3mku+5m(-2u)=&\,3mu+5m(3u),\\ 3k-10=&\,18,\\ k=&\,\frac{28}{3}. \end{align*}

If $P$ reverses direction, its final velocity is $-u$ . Then

\begin{align*} 3mku+5m(-2u)=&\,3m(-u)+5m(3u),\\ 3k-10=&\,12,\\ k=&\,\frac{22}{3}. \end{align*}

The two possible values are $\boxed{\dfrac{28}{3}\text{ and }\dfrac{22}{3}}$ .

M1 2021 June Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程