题目

Problem

[In this question $\mathbf{i}$ and $\mathbf{j}$ are perpendicular horizontal unit vectors.]

Three forces, $\mathbf{F}_1$ , $\mathbf{F}_2$ and $\mathbf{F}_3$ , are given by

\mathbf{F}_1=(5\mathbf{i}+2\mathbf{j})\,\mathrm{N}

\mathbf{F}_2=(-3\mathbf{i}+\mathbf{j})\,\mathrm{N}

\mathbf{F}_3=(a\mathbf{i}+b\mathbf{j})\,\mathrm{N}

where $a$ and $b$ are constants.

The forces $\mathbf{F}_1$ , $\mathbf{F}_2$ and $\mathbf{F}_3$ act on a particle $P$ of mass $4\,\mathrm{kg}$ .

Given that $P$ rests in equilibrium on a smooth horizontal surface under the action of these three forces,

(a) find the size of the angle between the direction of $\mathbf{F}_3$ and the direction of $-\mathbf{j}$ .

(4)

The force $\mathbf{F}_3$ is now removed and replaced by the force $\mathbf{F}_4$ given by $\mathbf{F}_4=\lambda(\mathbf{i}+3\mathbf{j})\,\mathrm{N}$ , where $\lambda$ is a positive constant.

When the three forces $\mathbf{F}_1$ , $\mathbf{F}_2$ and $\mathbf{F}_4$ act on $P$ , the acceleration of $P$ has magnitude $3.25\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ .

(b) Find the value of $\lambda$ .

(5)

题目中文翻译

[本题中， $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 为互相垂直的水平单位向量。]

三个力 $\mathbf{F}_1$ 、 $\mathbf{F}_2$ 和 $\mathbf{F}_3$ 分别为

\mathbf{F}_1=(5\mathbf{i}+2\mathbf{j})\,\mathrm{N}

\mathbf{F}_2=(-3\mathbf{i}+\mathbf{j})\,\mathrm{N}

\mathbf{F}_3=(a\mathbf{i}+b\mathbf{j})\,\mathrm{N}

其中 $a$ 和 $b$ 为常数。

力 $\mathbf{F}_1$ 、 $\mathbf{F}_2$ 和 $\mathbf{F}_3$ 作用在质量为 $4\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 上。

已知 $P$ 在这三个力的作用下，静止平衡于光滑水平面上，

(a) 求 $\mathbf{F}_3$ 的方向与 $-\mathbf{j}$ 的方向之间的夹角大小。

(4)

现移去力 $\mathbf{F}_3$ ，换成力 $\mathbf{F}_4=\lambda(\mathbf{i}+3\mathbf{j})\,\mathrm{N}$ ，其中 $\lambda$ 为正常数。

当三个力 $\mathbf{F}_1$ 、 $\mathbf{F}_2$ 和 $\mathbf{F}_4$ 作用在 $P$ 上时， $P$ 的加速度大小为 $3.25\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。

(b) 求 $\lambda$ 的值。

(5)

解答

(a)

解法一

思路

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平衡时合力向量为零，两个分量分别为零。求与负 $\mathbf j$ 方向的夹角时，邻边是竖直分量的大小 $3$ ，对边是水平分量的大小 $2$ 。

答题过程

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For equilibrium,

\begin{align*} \mathbf F_1+\mathbf F_2+\mathbf F_3=&\,\mathbf0,\\ (2+a)\mathbf i+(3+b)\mathbf j=&\,\mathbf0. \end{align*}

Therefore $a=-2$ , $b=-3$ , and $\mathbf F_3=-2\mathbf i-3\mathbf j$ N.

Let $\theta$ be the angle between $\mathbf F_3$ and $-\mathbf j$ . The force points to the left and downwards, so $\theta$ is acute and

\tan\theta=\frac23.

Thus $\boxed{\theta=33.7^\circ}$ (3 s.f.).

(b)

解法一

思路

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先把三个力的分量相加，再用合力的大小等于质量乘加速度的大小。不能把标量 $3.25$ 直接当成加速度向量。最后用 $\lambda>0$ 筛选根。

答题过程

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The new resultant force is

\begin{align*} \mathbf F=&\,(5\mathbf i+2\mathbf j)+(-3\mathbf i+\mathbf j)+\lambda(\mathbf i+3\mathbf j),\\ \mathbf F=&\,(2+\lambda)\mathbf i+(3+3\lambda)\mathbf j\ \mathrm N. \end{align*}

By Newton’s second law, $|\mathbf F|=4(3.25)=13$ N. Hence

\begin{align*} (2+\lambda)^2+(3+3\lambda)^2=&\,13^2,\\ 10\lambda^2+22\lambda-156=&\,0,\\ (\lambda-3)(5\lambda+26)=&\,0. \end{align*}

The roots are $3$ and $-26/5$ . Since $\lambda>0$ , $\boxed{\lambda=3}$ .

M1 2021 June Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程